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GÉOMÉTRIE. — Nouveaux {mariants projecdf S. 

 Note (') de M. Charles Kabut, présentée par M. P. Puiseux. 



Dans la recherche des propriétés projectives des figures, Poncelet n'a 

 pas envisagé systématiquement leurs éléments infinitésimaux. On peut 

 admettre qu'Halphen a ouvert cette voie en exprimant quelques invariants 

 difi'érentiels de l'homographie plane, mais il s'est borné, en tous cas, à une 

 figure unique, la plus rudimentaire, à savoir un seul arc de courbe de lon- 

 gueur infiniment petite. Je me suis proposé de rechercher les propriétés 

 projectives infinilésimales, autrement dit les invariants projeclifs diffé- 

 rentiels, de figures formées d'éléments en nombre non limité, les uns finis, 

 les autres infinitésimaux . Je vais faire connaître ici quelques-uns de ces 

 invariants. 



1. De même que toutes les propriétés projectives découvertes par 

 Poncelet pourraient se ramener à l'invariance du rapport anharmonique 

 d'un alignement de quatre points à distance finie, de même les invariants 

 projectifs de nature infinitésimale ne sont que des combinaisons de rapports 

 anharmoniques formés avec des segments alignés dont un ou plusieurs sont 

 infiniment petits. Dans le rapport 



AB.CD 

 BC.DA' 



si l'on suppose AB infiniment petit , on obtient l'invariant 



AB.CD 

 BC.BD' 



si Ton suppose AB et CD infiniment petits, on obtient l'invariant 



AB.CD 



BG 



qui peut se déduire du précédent. Tous deux sont propres au groupe projectif. 

 Si l'on suppose AB et BC infiniment petits, on obtient l'invariant de 

 trois points alignés 



AB 

 BC 



(') Présentée dans la séance du 28 septembre I9i4. 



