SÉANCE DU 5 OCTOBRE IQlA- ^67 



qui n'est pas exclusivement projectif, car il appartient à tout le groupe 

 ponctuel. 



Au moyen de ces invariants, on peut former les suivants, qui ont pour 

 sièges des figures moins élémentaires. 



2. Si deux courbes se touchent, le rapport de leurs rayons de courbure 

 au point de contact est un invariant projectif; en d'autres termes, l'homo- 

 graphie conserve le rapport des courbures de contact . 



3. Si par un même point passent trois courbes, soient r, r les rayons de 

 courbure de deux d'entre elles, ç, s' les angles sous lesquels elles coupent la 



troisième, le rapport 



/sin'o 



/•'sin-'o' 

 6*7 un invariant projectif . , 



4. Cette même expression est encore invariante si une droite coupe sous des 

 angles a», o', en des points distincts, deux courbes dont les rayons de courbure 

 en ces points sont r, r' . 



.5. Si deux courbes ont une tangente commune, soient r, r' les rayons de 

 courbure aux points de contact, t, t' les distances de ces deux points à un 

 même point marqué sur la tangente, le rapport 



rt" 

 est un invariant projectif . 



6. Cette même expression est encore invariante si t, t' sont les longueurs de 

 deux tangentes distinctes menées à deux courbes par un point quelconque. 



Les théorèmes 6 et 7 sont respectivement corrélatifs des théorèmes 4 et .5. 

 Le théorème 3 est auto-corrélatif. 



7. Si par les trois sommets d'un triangle passent trois arcs de courbe tan- 

 gents respectivement aux trois côtés, soient r, r', r" les rayons de courbure en 

 ces points, R le rayon du cercle circonscrit au triangle, le rapport 



est un invariant projectif. 



Les six théorèmes ci-dessus, concernant les courbures de deux ou trois 

 arcs associés à des droites, sont classés par ordre de simplicité décroissante; 



C. R., 1914, 2- Semestre. (T. 159, N« 14.) 73 



