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des fonctions de a? et de j quand on y remplace x par cp(^r), y par '|( y) ou 

 bien x par y et y par x, c'est-à-dire quand on y efl'ectue les seuls change- 

 ments de variables indépendantes qui conservent la forme de l'équa- 

 tion (i). 



On sait aussi que, dans le cas où l'un des invariants h ou k est nul, les 

 équations de la forme (i") s'intègrent par des quadratures. Par exemple, 

 si h est nul, l'équation (i) peut se mettre sous la forme 



et admet une intégrale générale qui est de la forme 



(4) z=^(\^ J\y.dyy 



OÙ X et Y désignent deux fonctions arbitraires de x et de y respectivement 

 et où a et p sont deux fonctions déterminées dont voici la valeur : 



— iacty iittly — lb<1x 



Laplace, qui a donné ces résultats et a consacré tout un Mémoire aux 

 équations de la forme (i), a fait connaître un mode de transformation de 

 ces équations, qui joue un rôle fondamental dans leur théorie. Si h, par 

 exemple, n'est pas nul, on peut introduire la nouvelle variable z, définie 

 par la formule 



(5) _+a3=^,. 

 Alors l'équation (i) pourra s'écrire 



(6) è^^^--^--' 



et, en éliminant z, on sera conduit à la nouvelle équalion 



, \ <i'~\ àz, , dz, 



(") "5 — j l-a,^ y- o,— |-c,;i = o, 



u.v (Jf ôx Ov 



où l'on aura 



( d\os.h 



a,^= a- 



0} 

 (8) {b,=^b, 



da dh , d log/î 

 c^ — c r- + -5 l> — rS — 



