SÉANCE DU 19 OCTOBRE I9l4- ^87 



Les invariants h^ de la nouvelle équation seront donnés par les formules 



(9) dxdy 



qui montrent que ces invariants dépendent uniquement de ceux de l'équa- 

 tion proposée. 



Si /• n'était pas nul, on pourrait obtenir, en échangeant x et j, une 

 nouvelle méthode de transformation. 



Pour plus de détail je renverrai à mon Ouvrage où j'ai montré comment, 

 d'une équation telle que (i) que j'appellerai (E), on peut, en appliquant les 

 deux transformations de Laplace, déduire une suite, en général illimitée, 

 d'équations de même forme 



..., (E.,), (E_,), (E), (E,), (E,), .... 



L'équation (E,), par exemple, serait l'équation (7) déduite de (E) par 

 la substitution (5). Les invariants de (E,) seraient /<, et //,_,, toutes ces 

 quantités se déduisant des invariants A, h_^ de (E), supposés connus, par 

 la formule de récurrence 



//,V, + A,_, =: 2 /i, . ° , 



ôxay 



qui permettra de les calculer successivement. 



La formule (5) nous montre d'ailleurs que la solution s,- de l'équa- 

 tion (E,) sera liée à la solution 5 de l'équation (E) d'où elle dérive par une 

 expression de la forme 



(10) .,= B. + B,^+...+ B,.|i, 



où B, B,, ..., B, sont des fonctions déterminées. 



2. Tous ces points étant rappelés, supposons que la suite de Laplace se 

 termine à l'équation (E,) d'indice positif, l'invariant /*, étant le premier qui 

 s'annulera dans la suite 

 • h, /(,, ..., A,_,, hi. 



Alors l'expression générale de z^ sera donnée par la formule (4) et, en 

 comparant à la relation (10), on sera conduit à une relation 



-fy.Ydy: 





