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qui devra être vérifiée par toutes les intégrales s de l'équation (E) et où « 

 et C, C| , . . . , C,- désignent des fonctions connues de x et j. 



En éliminant les fonctions arbitraires X et Y, on sera évidemment con- 

 duit à la relation 



C'est une équation linéaire d'ordre «H- 2 à laquelle devront satisfaire toutes 

 les intégrales de (E). 



Cette équation peut évidemment être écrite sous la forme plus simple : 



^. (-^^ + A, ^ +. . .+ A,4.,:^— ^ ) = o. 



Oz 0'*'z 



Ainsi, toutes les solutions de l'équation (E) appartiennent à cette équation 

 linéaire d'ordre i H- 2. 



3. Réciproquement, je vais montrer que, si toutes les intégrales de (E) 

 vérifient également une équation Je la forme 



la suite de Laplace se termine de telle manière que, pour l'équation (E), /'//« 

 des invariants /i_,, /i, />,,..., h^, ^ soit nul. 



Pour établir cette proposition, on peut évidemment supposer que l'on 

 ait multiplié l'inconnue z par un facteur tel que l'équation (E) ait pris la 

 forme 



/i7\ d''z âz 



(E) ---i- b-r- -hCZ=0, 



ax ay Oy 



débarrassée du terme en -r^- 



Alors la première substitution de Laplace, définie par l'équation (5), se 

 réduira à la forme 



(.3) ^ = .,. 



dy ^ 



Supposons d'abord que, dans l'équation (12), A ne soit pas nul. En effec- 

 tuant dans cette équation la dérivation par rapport à a? et profitant de 

 l'équation (E) pour éliminer toutes les dérivées prises une fois par rapport 



à X, le terme A -r^ ne §e réduira avec aucun autre, et l'on aura un résultat 



