SÉANCE DU 19 OCTOBRE 1914. SSg 



de la forme 



dx '^ uy " ' '' dyi' ^ dy 



dx 



A- 



Si l'on porte cette valeur de -^ dans l'équation (E), il viendra l'équa- 



tion 



(■4) ^(^2p,.^j + /.-+C.:=0, 



qui ne contiendra plus que des dérivées de z par rapport à y prises jusqu'à 

 l'ordre/? + i. 



Or toute relation où ne fij^urent que les dérivées de ; prises par rapport 

 à une seule des variables x ou y doit être vérifiée identiquement, car on 

 sait qu'il y a des solutions de (E) se réduisant, par exemple pour x = x„^ à 

 une fonction quelconque de y et dont, par suite, les dérivées successives 

 par rapport à y peuvent être choisies arintrairement et ne sauraient être 

 assujetties à vérifier aucune relation linéaire telle que (i4)- 



La relation précédente doit donc être vérifiée identiquement, ce qui 

 conduit aux conditions 



et par conséquent l'équation (E) prend la forme 



d'-z d 



dx dy dy 



(P^)=o, 



pour laquelle l'invariant A.., est nul. 



Ainsi, dans le cas où A n'est pas nul, notre proposition est démontrée. 



Si A est nul, l'application de la première transformation de Laplace 

 transforme l'équation (E) en (E,) et la relation (12) dans la suivante : 



qui est de même forme, mais où p est remplacé par p — i- En appliquant 

 donc à l'équation (E, ) la proposition précédente, on voit que l'invariant /; 

 de (E,) [invariant qui joue par rapport à (E,) le même rôle que h_, par 

 rapport à (E)] sera nul, ou bien que l'on pourra ramener la relation (i5) 

 à une autre de même forme, relative à l'équation (E,), mais où l'ordre de 

 la plus haute dérivée par rapport à. y sera p — 2. 



En poursuivant ce raisonnement, on verra que l'un des invariants A ,, 



