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^, ^,, . .., hp_^ devra être nul, la dernière équation à laquelle on peut par- 

 venir dans le cas le plus favorable étant 



et alors l'invariant hp^^ de (E^_,) étant nul. 



4. La proposition que nous avions en vue est ainsi complètement démon- 

 trée. Mais la marche que nous avons suivie nous conduit à des résultats 

 intéressants que nous allons maintenant établir. 



Nous allons voir que la proposition précèdeiUe reste vraie si F on suppose 

 que V équation linéaire (12), au lieu d'admettre toutes les solutions de (E), en 

 admet seulement p + 2 qui soient, bien entendu, linéairement indépendantes. 



Soient, en effet, s,, z-^, .. ., Zp+^ cesp + 2 solutions. Supposons d'abord 



que, l'équation (E) ayant été privée du terme en -t^> A ne soit pas nul. 



Les/j+2 solutions 3, devront vérifier l'équation linéaire (i4), qui est du 

 {p+ i)"=°"'ordre seulement. Gomme, par liypothèse, nos solutions son t linéai- 

 rement indépendantes, l'équation (i4) devra se réduire à une identité, et 

 le raisonnement que nous avons fait montre qu'alors l'invariant A_, sera 

 nul. Donc, si A est différent de zéro, nos conclusions ne seront pas changées. 

 Si A est nul, nous avons vu qu'on pourra passer à l'équation (E,) en 

 diminuant/) d'une unité. Cette équation (E,) admettra, en vertu de la for- 

 mule (5), les solutions particulières 



àj dy dy 



et il est aisé de voir que, parmi ces solutions, il en restera au moins /> + i 

 qui seront linéairement indépendantes ('). On sera donc, vis-à-vis de 



(') Supposons, en effet, qu'il y ait une rel.ntioii linéaire entre les solutions précé- 

 dentes. Comme on peut les combiner linéairement, cela revient à admettre que l'une 

 d'entre elles pourrait être nulle; qu'on aurait, par exemple, 



dzi 



Mais comme s, satisfait à l'équation (E), cela donne 



CZi= o. 

 Comme ^, ne saurait être nul, sans quoi il y aurait, contrairement à l'hypothèse, 



