SÉANCE DU 19 OCTOBRE igiA- ^91 



réqualioii(E,), dans la même situation que vis-à-vis de (E), sauf que /j 

 aura été diminué d'une unité. Le raisonnement d'induction complète suffit 

 donc à établir la proposition que nous avons en vue. 



5. Cette proposition est due à M. Bompiani, qui l'a fait connaître dans 

 un Mémoire intitulé : Suirequazione di I.aplace, inséré au Tome XXXIV 

 des Rendiconli del Circolo matematico di Valermo (séance du i4 juillet 1912). 

 Auparavant, M. Goursat avait donné la solution d'un problème que j'avais 

 proposé dans la quatrième Partie de mes Leçons sur la théorie des surfaces 

 (n" 1021) et montré que, si une équation de Laplace admet p ■+■ i intégrales 

 particulières qui, tout en étant linéairement distinctes, soient cependant liées 

 par une relation linéaire et homogène dont les coefficients sont des fonctions 

 d'une seule des deux variables x, y, la suite deLaplace se termine dans un sens 

 après p — I transformations au plus . Celte intéressante proposition a paru 

 dans le Mémoire Sur les équations linéaires et la méthode de Laplace, publié 

 par M. Goursat au Tome XVHI de V American Journal of Mathematics ; son 

 auteur l'a reprise dans ses Leçons sur l'intégration des équations aux déri- 

 vées partielles du second ordre à deux variables indépendantes (i. II, 11^97, 

 p. 21). Nous pouvons la démontrer par des considérations analogues à 

 celles dont nous venons de faire usage. 



Soient r-,, z^, . . ., r^^, les p -\- i solutions que nous supposerons liées par 



une relation 



~p+i =: «1 S] -l- . . . + cCpZp 



où les a, seront des fonctions de x. Il existera une équation 



K K àz . dPz 



\z-hki- H. . . + A„-r— = o 



admettant :■,, z.,, . . ., z^^, comme solutions particulières. 



Si s^+o désigne une solution de (E) qui ne soit pas une combinaison 

 linéaire de 3, , . . ., 3^,+., , l'équation 



\ 3,,, + ...-+- A, '- — 



dy 



une relation linéaire entre les ;,, il faudra qu'on ait 



c = o, 

 c'est-à-dire que l'invariant /i de (E) soit nul. 



