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sera évidemment vérifiée par /) + 2 solutions s,, So, . . ., z^^.,, î/,^.,- Donc, 

 en vertu de la proposition de M. Bompiani, l'un des invariants /*_,, h, 

 II,, ..., hj,_, sera nul, ce qui est la proposition de M. Goursat. 



HYDRODYNAMIQUE. — Sur le paradoxe hydrodynamique de Dalemhert. 

 Note (') de M. Pierrk Duhem. 



M. Umberto Cisotti a donné, du paradoxe hydrodynamique de Da- 

 lembert, cet énoncé général (^) : 



Un corps solide est plongé dans un fluide indéfini de toutes parts, dénué de 

 viscosité, compressible suivant une loi quelconque et soustrait à Faction de toute 

 force. Le mouvement du solide est une translation uniforme, de vitesse Y, 

 parallèle à Ox; le mouvement du fluide est un régime permanent; à i infini, 

 le fluide est en repos. 



La somme des projections sur Ox des forces qu'il faut appliquer au solide 

 pour entretenir un tel mouvement est égale à zéro. 



M. Cisotti n'a démontré ce théorème qu'en supposant le fluide exempt 

 de toute surface de discontinuité; aussi enseigne-t-on, en général, que le 

 paradoxe de Dalembert se dissiperait si le fluide était partagé par des sur- 

 faces de discontinuité, et regarde-t-on ce paradoxe comme une preuve qu'il 

 s'établit, au sein du fluide, de telles surfaces de discontinuité. 



Nous nous proposons de démontrer ici, en suivant la même voie que 

 M. Cisotti, que le théorème énoncé par cet auteur demeure vrai, même si 

 le fluide est partagé par des surfaces de discontinuité. 



Soit, en un point du fluide, p l'excès de la pression en ce point sur la 

 pression uniforme qui règne à l'infini. La première équation d'Euler 



nous donne 



dp / au ûii un du 



dx '^ \ ÔJc ÔY ' dz ' dt 



Multiplions les deux membres de cette égalité par l'élémentû?» du volume 

 occupé par le fluide et intégrofis pour le volume entier du fluide; nous 



(') I^eçue dans la séance du 28 septembre I9i4- 



(•) Umbkrto Cisotti, Sut moto permanente di un solido in un fluido indejinito 

 (Atti del R. Instiluto Vcnelo di Scienze, Lellere ed Arli. 1909, t. L\IX, p. î\!\!\). 

 M. U. Cisolli a même énoncé et démontré un théorème plus général que, pour plus de 

 brièveté, nous ne considérerons pas ici. 



