SÉANCE DU 9 NOVEMBRE igi^- 647 



nous aurons 



Introduisant les variables u et v données par les relations 



du = p dp : v'(p" — «■) ip' — l>') , dv =z ^dfx :\/(a- — jjt-) (jn^ — 6^), 

 on a 



' I 



R — ( -v''a-— h-) {e""±e-""). 



La fonction M se réduit alors à cos(«t') ou sin(n('). Toute fonction de 

 position /, développable en série de Fourier, peut, sur une ellipse, être 

 développée en une série de fonctions M qui ne dépend pas du choix de 

 cette ellipse. La série étant donnée sous la forme /"— lA^M^, les coeffi- 

 cients X se calculent à l'aide de la formule 



flUWds = o, si M 5= M', l = {p^—,^C-)'K 



Les racines de la fonction R sont toutes réelles, distinctes et situées 

 entre a et h. Posant h = («- — b*) ', on a 



^• = AR,M,, j — /(R,Mj. 



La surface de l'ellipse est 



A:=:7rR,R,= 7TR,; 



les cosinus de la normale extérieure 



cos{ri,jr) = /i/MiRj, cos(«, j) = /i/MjR,. 



A chacune des deux fonctions R de même degré correspond une fonction 

 de seconde espèce donnée par la formule 



S.2„_,= S,„-— [-\'"'— ''') e-'"'—9."{<^p-'-a-'-h\'p^—b-)". 



3. Problème de Dirichtel pour r ellipse. — Soit V„ la fonction donnée sur 

 Fellipse. Elle peut êlr« développée en une série de fonctions M. Soit 



(posant. «A. = A;;. :R; s;'). 



