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La solution du problème est 



V,= i«,.S2.R*M,, V,= 2a,,R2S,. M,, 4- 9, 



zt étant une fonction harmonique s'annulanl sur l'ellipse et se comportant à 

 l'infini d'une façon donnée d'avance. On est ramené ainsi à un autre pro- 

 blème de Dirichlet. Si V est le potentiel logarithmique d'une masse quel- 

 conque A, 



9 = — A ( « — ;/„ ) = A [ log ( v'pS — «- -t- v pf, — b') — log(v'p'— «'-+- \Jp- — ^- ) I • 



Pour trouver le potentiel d'une couche homogène de densité i, de masse 

 totale A et d'épaisseur 'C, située sur l'ellipse, il suffit de développer 'Ç : /en 



une série de fonctions M; soit '1 : / =^ 'S (^aM^;.; le potentiel intérieur et 







extérieur de cette couche sera 



V,-=y -p,.S:;,H, M,, V.. = V î p,.r;;.S;, M, - A(« - „„). 



4. Ceci posé, le potentiel logarithmique d'une ellipse homogène est 



I r S" S" 

 X' ' A r Si , s, , 



const., 



A( (/ — u„) -+- consl. 



Pour avoir le potentiel newtonien d'un cylindre elliptique homogène et 

 indéfini, il suffit de multiplier par 2 ces formules. 



Désignant la force de la pesanteur par g on a, sur la surface d'un cylindre 

 elliptique en rotation et en équilibre relatif, gl= const. = -R-gS,. 



Les cylindres de bifurcation doivent vérifier l'équation 



■>. Il 



Prenant l'équation plus générale 



(I) - R,S, Ra.Sa=o 



ji II 



(f) et n étant les degrés des fonctions H et S) et désignant par / le rapport 

 ries axes de l'ellipse delà section droite du cylindre et par a; la quantité 

 (I — /) : ( I -\- l), cette équation devient 



-(\±xi') — ■-(i±x'') = o, 

 p n 



