SÉANCE DU 9 NOVEMBRE igi/f. 649 



et je démontre que, pour que réquation ( i) ait une et une seule racine 

 pour «-<^p-<:;cc, il faut et il suffit que : i°/z:^/>; 2" le plus petit des 

 indices / et k soit impair et le plus grand soit pair. Ainsi, pour chaque 

 degré «, iFy a une seule équation 



1 , 1 



-(1 — X-) (1 -(- i-") =; o. 



2 n 



Cette équation, ayant une seule racine, détermine un cylindre de bifur- 

 cation. La couche déterminant la nouvelle figure d'équilibre est 



C = t3,„ /COS («!'). 



On démontre que, plus la vitesse est grande, plus l'aplatissement est 

 petit. A la vitesse maximum co = y-, correspond un cylindre circulaire. 

 Si la vitesse co, partant de son maximum, va en décroissant, la masse fluide 

 passe consécutivement par toutes les figures de bifurcation en ordre des 

 n croissants. Le cylindre circulaire n'est pas une figure de bifurcation. 



Le premier cylindre elliptique de bifurcation a lieu pour n ^ 3. Il donne 

 naissance à la figure correspondant à la figure, piriforme de Poincaré. Le 



rapport des axes de l'ellipse de la section droite est alors t = -] la vitesse 

 correspondante est w = i / ^-. Les coefficients de stabilité sont 



oL,= -T. (-^ R,S3— ~ H,S, j ClMf c/oK 



Par conséquent, les cylindres elliptiques sont stables, si le rapport des 

 axes de l'ellipse de la section droite < <; ' ( co'-> 7- |. Tous les autres sont 



instables. 



Les cylindres circulaires sont tous instables, mais le degré d'instabilité 

 est I. Us ne sont instables que pour la déformation les transformant en 

 cylindres elliptiques. 



Conclusion. — Une masse lluide, partant du repos, ne peut jamais 

 devenir un cylindre indéfini, car avant d'arriver à une figure d'équilibre 

 stable, elle est obligée de passer par une infinité de figures instables. Ces 

 résultats seront établis dans un Mémoiie détaillé qui paraîtra prochai- 

 nement. 



