SÉANCE DU 23 NOVEMBRE igi^- "JoB 



ARITHMÉTIQUE. — Sur une propriété des progressions arithmétiques. 

 Note (') de M. IIaton de la Goupillière. 



1. M. Barisien a signalé dans V Intermédiaire des Mathématiciens (t. XXI, 

 p. 123) cette circonstance intéressante que, si l'on dispose les termes de la 

 progression arithmétique ayant pour premier terme i et pour raison 4 sur 

 des lignes qui en comprennent successivement i, 3, 5, 7, ..., les sommes 

 des diverses tranches sont les cubes des nombres impairs. J'ai eu la curio- 

 sité de chercher les conditions les plus générales capables de conférer à une 

 progression une propriété analogue. 



Envisageons une telle suite, de premier terme a et de raison /•. Le profil 

 de Vescalier (-) que dessine le dispositif précédent débute par un palier 

 de/7 nombres, suivi de marches comprenant chacune g termes. La longueur 

 de la «'"'"■ tranche réunit en projection celles du palier et de « — i marches 



(1) p + {n — \),i.^qn +(p — q). 



Calculons le nombre de termes de cel ensemble, en procédant par 

 colonnes verticales. La première présente n fois p, et les suivantes n — 1, 

 n — 2, ...,3, 2, I fois q 



2 2 



Pour évaluer le dernier de ces termes, il nous faut ajouter au premier a 

 un multiple de r marqué par le nombre (2) diminué d'une unité 



qn- -\- (ip — q ) n 



Si nous changeons n en // — i, nous obtiendrons le dernier terme de la 

 tranche précédente ; et en lui ajoutant r, le premier de la n'^™" 



a -H -[qn'-^{ip — Zq)n-'i{p — q)]. 



Formons la demi-somme de ces deux extrêmes 



(3) M-H - {qn''^i(^p — q)n — (p — q-^i)]. 



( ') Reçue dans la séance du 16 novembre 191/4. 

 ('-) Voir le second exemple numérique du n° 7. 



