SÉANCE DU 23 NOVEMBRE IQl/l. 707 



Mais ici se place une observation essentielle. 



Il est clair que, si Ton conçoit l'une quelconque des progressions cher- 

 chées, on en peut déduire une infinité d'autres, qui satisferont tout aussi 

 bien qu'elle, en multipliant par un cube quelconque tous ses termes, ou 

 simplement le premier et la raison. Nous pouvons, d'après cela, dans 

 l'ensemble des suites cherchées, isoler eu un groupe spécial les solutions 

 essentielles ^ dans lesquelles a et r n'ont aucun facteur commun cubique; 

 chacune d'elles devenant la souche d'une famille de solutions accessoires, 

 quand on multipliera son premier terme et sa raison par toute la série des 

 cubes successifs. 



Il suffit donc de restreindre notre recherche à ces solutions essentielles, 

 en dégageant a et r de tout facteur cui)Ique commun. Or, nous rencon- 

 trons précisément ce caractère dans les égalités (5). Il nous est permis, 

 par conséquent, sans rien faire perdre à notre analyse de sa généralité, 

 d'y faire H = i . 



Il nous vient alors (5) 



(6) r=:2y. 



De là une seconde condition à joindre à la première (4), qui se réduit ainsi 

 de son côté 



(7) a—p-^~p<i + rj, S„ =['//* + (/^ -y )]^ 



4. Possédant deux relations entre les quatre paramètres a, r,p, q^ nous 

 pourrons en déterminer deux quand on nous fournira les deux autres. 

 Deux questions se posent d'après cela. Dans le problème </iVec/, le dispo- 

 sitif (/J, q) de l'escalier étant défini a priori, il s'agit de lui adapter une 

 progression (a,/*). La question inverse consiste à déterminer, pour une 

 progression donnée, un type d'escalier réalisant la condition voulue. 



Leproblèmedirect est immédiatement résolu par les formules (G) et (7). 

 11 existe donc toujours, pour un escalier quelconque, une progression et 

 une seule. Les valeurs de a (') et ;■ seront entières, puisque p eX q ne 

 sauraient manquer de l'être. Nous n'avons pas, d'ailleurs, à exiger pour a 

 une valeur positive. Une progression arithmétique s'étend d'un infini 

 à l'autre, et rien ne nous empêche de choisir a dans sa partie négative. 



(') La variation de a en fonction de p et <] peut être figurée par l'ordonnée du 

 paraboloïde hyperbolique {7), qui a pour axe la verticale du sommet /> = i, q ^= 1, 

 a = 1; ses plans directeurs p = o, p ^q comprenant un angle de [\h°. 



