7o8 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



L'exemple le plus simple est p = i, y =: i . Il donne a = i, r^^a, avec 

 S„=:«'. La progression est celle des nombres impairs, et la suite des 

 sommes celle des cubes naturels. 



Le cas le plus simple après celui-ci serait p^i, y = 2; d'où rt = i, 

 r=45 ^^ S„^(2/i — i)'. C'est précisément celui qui a été observé par 

 M. Barisien. 



5. Le caractère />= i, commun à ces deux exemples, détermine un type 

 général, celui de l'escalier triangulaire (et non plus trapézoïdal comme a\ec 

 un palier quelconque). Son premier terme est nécessairement l'unité (7) 



a—i, S„= [f//i — ((/ — I )]■■'. 



Un second type mérite également d'être remarqué, lorsque le palier est 

 égal à la marche 



n ^ (7 = rt = - , S„ =r rt' «•■'. 



2 



6. Passons au problème inverse, dans lecjuel a et /■ deviennent les don- 

 nées, p et (/ les inconnues. L'équation (G) nous fournit la valeur de la 



marche 



/■ 



' 2 



ce qui exige que la raison soit un nombre pair. 



Nous avons en second lieu (7), pour déterminer le palier 



(S) 



r-':^P-^ (^ -«) = «' 



(''--=1~\/t^.-Z^'' = '^-^{'â-')'^"- 



A une progression donnée correspondent donc deux escaliers, pourvu tou- 

 tefois que les racines soient réelles, ou que 



a>i— I 7 — ' ) ' 



condition remplie dès la valeur a-=i, pour lacpielle elles sont en outre 

 ralionncUes algébriquement, quelle que soit r, 



/^ = '' P='--'- 



