SÉANCE DU 23 NOVEMBRE I9l4' 709 



Lorsque a est supérieur à l'unité, les racines doivent rester rationnelles 

 numériquement, d'après un choix approprié de la raison. Nous poserons 

 pour cela, en désignant par M un entier quelconque, 



M% a — W- 



%-')■ 



Si rétait simplement paire, comme il vient d'être dit, cette expression 

 deviendrait fractionnaire. Pour qu'elle reste entière, nous prendrons r pai- 

 rement paire 



(9) /• = 4IV, n = M^-N(N-2), 



en représentant par N un second entier arbitraire ( * ). 



Nous devrons donc, pour constituer les données du problème inverse, 

 choisir la raison parmi les multiples de 4, et le premier terme sur une 



liste (^ ) formée en retranchant de tous les carrés l'entier fixe - ( ^ — i j- On 

 obtient alors pour les inconnues 



yr=2N, /? = !V±M; S„=(2N« — N±M)\ 



7. Pour mettre sous les yeux du lecteur un spécimen numérique, je 

 prendrai M = i, N = 2; d'où la progression rt= i, r= 8; l'escalier 7 = 4) 

 /> = I ou 3; et la somme S„ = (4« — 3)' ou (4« — f)'- Nous formons ainsi 

 ce premier Tableau triangulaire 



729 = 9'- 2I97=:I3^ 



(') On voit que les solutions du problème inverse forment une suite à double 

 entrée. Elle devient à triple entrée, lorsqu'on multiplie a et /■ par H^ (n" 3), pour 

 adjoindre aux solutions essentielles les solutions accessoires. Mais une telle ampleur 

 n'est qu'apparente et doit être abaissée d'un degré. En effet, uu même escalier peut 

 apparaître sous une infinité d'aspects différents, si Ion prend pour a le premier terme 

 d'une tranche quelconque, et pour/> sa longueur, en descendant à partir d'un palier- 

 terminus dont la longueur soit égale ou inférieure à celle de la marche. 



('^) Pour r = 8, celte liste n'est autre que celle des nombres carrés; pour le 

 minimum de la raison /• = 4, celle des carrés augmentés tous d'une unité. 



C. R., 1914, v Semestre. (T. 159, N° 21.) 9^ 



