ACADÉMIE DES SCIENCES 



SÉANCE DU LUNDI 7 DÉCEMBRE 1914. 



PRESIDENCE DE U. P. APPELL. 



MEMOIRES ET COMMlL\ICATI().\S 



DES MEMBRES ET DES CORRESPONDANTS DE L'ACADÉMIE. 



ARITHMÉTIQUE. — Sur une propriété des progressions arithmétiques. 

 Note (') de M. Haton de la Gotjpillière. 



1. Dans une précédente Communication ('), j'ai cherché les conditions 

 moyennant lesquelles la répartition en groupes successifs d'une progression 

 arithmétique fournit, comme sommes de ces diverses tranches, les cubes 

 des termes d'une seconde progression, dérivée de cette génératrice. 11 est 

 naturel de se demander si cette propriété est susceptible de s'étendre à des 

 degrés supérieurs au troisième. 



Pour le savoir, exprimons, non plus comme dans le cas précédent par 

 une fonction linéaire p -+- nq, mais à l'aide d'un polynôme en n de degré 

 indéterminé k, le nombre <„ des termes du «'"""^segment; et appelons T„ 

 celui que renferme l'ensemble des n premières tranches. Nous obtiendrons 

 la valeur du dernier d'entre eux en ajoutant au premier a, T„— i fois la 

 raison r; d'où l'expression a ■+■ (T„— i)r, ou rT„+ (a — r). Le terme final 

 de l'avant-dernière tranche s'en déduit par le changement de « en n — i; 

 et si nous lui ajoutons encore r, nous passons de là au premier de la 

 ^jieme tranclic : rT„_, -Ha. Nous pouvons du reste en faire disparaître l'in- 

 dice n — là l'aide de l'identité T„_, = T„ — /„,ce qui donne rÇT^ — t„)-i-a, 

 et enfin, pour la somme s„ de ces deux extrêmes, 



(i) s„ = r{iT„— t^) -h {la — r). 



(') Séance du 3o novembre igi^- 



(-) Comptes rendus du 23 novembre i9i4) P- 'oS. 



C. K., 1914, 2» Semestre. (T. 169, N» 23.) lOO 



