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Nous savons du reste que le total S„ de la n'""" tranche a comme valeur le 

 produit 



(2) S„=^"/„. 



• 2 



2. La somme T„ des polynômes numériques t,, t.,, t^, ■• ■ ■, tn s'obtient en 

 remplaçant dans le polynôme algébrique t„ chacune des puissances /î' par 

 la somme Z^ des puissances i des divers entiers de i à n. Rappelons à cet 

 égard la formule classique qui relie ces sommes les unes aux autres pour les 

 valeurs successives de i : 



y _ (" + 1)' + '— I /y /(< — 1) y f(< — I) (;•— 2) ^ 



(o ) — / — T— - —1—1 - 5 —/-a — 5 7 •*■/— 3 — • • • . 



l -\- I 2 2.3 2.3.4 



On voit que T„, qui renferme S^, sera du degré X: + 1 , ainsi que .v„(i); 

 et par conséquent S„(2) du degré 2^-+ i. La question consiste donc à 

 obtenir que cette dernière fonction devienne une puissance exacte, d'expo- 

 sant 2^ -i- I, du «'"""^ terme de la progression dérivée; laquelle nous reste 

 d'ailleurs inconnue. Nous en prendrons le terme général sous la forme 

 simplifiée n -\- x-^ en appliquant par la pensée aux diverses égalités où figu- 

 reront les polynômes /„, s„, S„ supposés ordonnés par rapport aux puis- 

 sances décroissantes de n, des multiplicateurs capables d'en réduire à 

 l'unité le premier coefficient; de tels facteurs numériques n'exerçant, 

 comme on l'a vu dans notre première étude, aucune influence sur la phase 

 algébrique de cette analyse, mais seulement dans la partie arithmétique qui 

 en est le complément. 



Pour que S„ ait ainsi toutes ses racines égales, il faut qu'il en soit de 

 même dans l'un et l'autre de ses deux facteurs (2), et avec une seule 

 racine des trois fonctions. Les deux dernières /„ et s^ doivent donc prendre 

 les formes respectives {n -h xY et (« -f- j;)''"^' . De là cette condition : le 

 sectionnement de la progression génératrice s'opérera d'après une puis- 

 sance exacte d'une fonction linéaire du rang de la tranche. Tout autre poly- 

 nôme régulateur est à écarter. 



Je développe en conséquence t„, ou (n-{- xy, d'après la formule du bi- 

 nôme de Newton, et de suite j'elfeclue sa transformation en ï„ par la 

 substitution des S,- aux divers n' : 



... „ y Aj? _ kik — \)x- ^ A(k — 1) (k — 2)0:^ ^ 



(4) r„—li,+ v^._,H_ _i ^_i^._^H LL^ .^_ V +___ 



I 1.2 1.2.0 



3. Je m'attacherai uniquement pour le moment aux trois puissances 



