7^4 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



4. Nous en déduisons, pour l'expression (4) de T„, 



/.-M 2 12 / ' \ k 



'"-h'-T-V) 



«" 



j;= 



2 T„ z= -— ^ — «*+' -t- ( 2 jc + I ) n'' + /.■ ( j:= -H a; + ^7 I «*"' 

 /. + I V 0/ 



et, d'après la valeur de t„ : 



t„= {n -h x)''= n'' -\- kx «*-' + . . . , 

 tn = «*+' + 2 X nf^-h k ( X- -h 



C'est cette expression (i) de .v„(sauf le coefficient — ^) qu'il s'agit 



d'identifier avec le développement de (n + a;)*'*'' fourni par une seconde 

 application de la formule de Newton à cette nouvelle puissance. 



5. A priori nous pouvons concevoir pour cette opération des espérances 

 assez étendues. Nous disposons en efîet de quatre indéterminées x, k, a, r, 

 ce qui semble théoriquement devoir. permettre d'identifier quatre couples 

 de termes (en sus du premier n'"^' , que nous avons préparé de manière à le 

 trouver le même dans les deux développements). Ce nombre risque même 

 de s'accroître encore, s'il vient à se produire spontanément certaines 



au lieu de n ; et pour A' =: i , 



^ n- n 



-'=7 + 2 



au lieu de • Tout au contraire, il nous fournit exactement les trois termes de 



2 



2,= -5- H \- TT- 



3 2b 



Et, en effet, Ii^-î correspond, dans les deux premiers cas, à des i-, et i_, qui 

 n'existent pas dans (3), tandis que le io du dernier cas reste admissible. 



11 faut, d'une manière générale, quelle que soit l'étendue qu'on a donnée une fois 

 pour toutes à la formule fondamentale (5), ne faire, pour chaque application efl'eclive, 

 que pither partiellement dans sa partie supérieure le nombre de termes qui est 

 spécifique du i demandé, en rejetant comme parasite ce que rend illusoire, dans le cas 

 actuel, le choix du point de départ qui avait été adopté. Le résultat est alors parfaite- 

 ment juste. C'est ce qui arrive pour io si nous n'empruntons à la relation (5) que son 

 premier terme, et pour 2, quand nous nous limitons aux deux premiers. 



