SÉANCE DU 28 DÉCEMBRE I9l4- Ï0o3 



Picard (/>„= — i, />„= P^ = i) ou une surface de genres i (/>„= P.i = i). 

 Le premier cas a été examiné par MM. Enriques et Severi (Acta mathema- 

 tica, 1909). Dans le second cas, nous avons montré que la surface $ 

 (supposée normale) possède six points de diramation qui sont six points 

 doubles biplanaires ordinaires (Anna/es de VÉcole Normale, 191/1)- Nous 

 avons recherché quelles sont les conditions nécessaires et suffisantes pour 

 que la surface $, possédant six points doubles biplanaires ordinaires, soit 

 l'image d'une involution d'ordre 3, appartenant à une surface F de 

 genres i (/;„ = P4 = i). 



Désignons par |r| le système des sections hyperplanes de $ (supposée 

 normale) par F,,, F,.,; Fo,, F^.^; ...; F,,,, F„2 les six couples de courbes 

 rationnelles équivalentes, au point de vue des transformations biration- 

 nelles, aux six points doubles biplanaires de •!>. On démontre qu'il existe 

 sur <ï>, deux systèmes |F„, |, |F„^| tels que 



3r,„ ^■iirn + r,, + ... •+?„)+ (r„ + r,., + ... + r„,)s3r, 

 3r„,4- (r,, + r5, + ... +-r„,)-H3(r,, + r,., + ...4-rc,) = 3r. 



Soit - le genre des sections hyperplanes F de <I>; on sait alors que <1>, 

 étant normale, est située dans un espace linéaire à - dimensions. Parmi 

 les variétés cubiques de cet S^, il y en a, passant par les six points doubles 

 de <I>, qui osculent $ le long de chacune des courbes Fm, F,,,. Si nous 

 désignons par 



(p,(j7,, X,, .rj, . . ., .r„)r= o, 9.2 = 0, ..., Qt,_^ — o 



les équations de $ (en coordonnées cartésiennes), par 



l'équation d'une variété cubique oscuiant <I* le long d'une courbe F„| 

 (ou F|,o), les équations 



a;, = o. cp, ^ o, ..., cp^2=o. a,'^^,^/ 



représentent une surface qu'on démontre être de genres i. 



L'existence de l'un des systèmes |Fo,|, |F„^| est donc nécessaire et suffi- 

 sante. 



De même, on démontre que, si W est une surface normale de genres o 

 et de bigenre i {p^^—Vj=^o, P^^i) possédant trois points doubles 

 biplanaires ordinaires, pour que cette surface représente une involution 

 d'ordre 3 appartenant à une surface de genres o et de bigenre i, il faut 



