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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les fonctions hyperabéliennes. 

 Note (') de M. GEOKtiEs Girald. 



Une grande partie des résultais contenus dans les Notes insérées 

 aux Comptes rendus des 5 et 19 mars dernier peuvent s'étendre aux fonc- 

 tions que M. Picard a nommées hyperabéliennes. ils s'étendent aussi 

 vraisemblablement à beaucoup d'autres catégories de fonctions assujetties 

 à ne pas changer par certaines substitutions effectuées sur les variables, 

 fonctions qu'on pourrait réunir sous le nom de fonctions aiitomorphes de 

 plusieurs variables. 



On peut trouver le polyèdre fondamental d'un groupe hyperabélien de 

 substitutions droites ou gauches. 



ax + /' a' y -»- !>' \ _ / _ <i y -\- h a' .r -\- li \ 

 ■■^'' cx-\-d' c'y + t/ )' ';'"•''' ci- -+-«-/' c'.T-h(i' ) 

 {a, b, c, . . .. ff' réels, m/ — (jc = a'd' — //'<•' = 1), 



au moyen d'une méthode de rayonnement en se servant des mulliplicilès de 

 centre (^, yj) 



«[(■'■ — 4 )(•'■..— i!o)(.'' — ■ri) (y«~r,o) -f- ( .r — ::„)(./■„ — ;)(J- — r,„) (,v„ — r,)| 



~ •/(■'■ — ■>-■„) ( J— Vc) (^ — ço) (-'i — r,„) -o, 



m^ désignant le conjugur de /n; c'est, si l'on veut, le lieu du système de 

 deux cercles 



(j- -- 4 ) (.«■„ — ço) H- {-r — ïo )(■«-. — ;) 4- (.»• — •?■„ ){'i — l, ) cil o = o, 

 (y — '''') {y: — ri,.) — ( r — y,„l ( v„— r,) + {y — Jo ' C^- — ry„) clio'= o, 



OÙ et 0' varient en étant assujettis à la condition 



a cliâ clio' -H ac -h 2y =0. 



Considérons un groupe tel qu'une de ses fonctions ait son prolonge- 

 ment analytique arrêté par la surface (r — -^o)(y ~.^'ii) — ^5 ''^' encore 

 que le polyèdre fondamental dont on vient de parler n'ait qu'un nombre 

 fini de faces; alors, si celui-ci atteint le domaine réel, c'est uniquement par 

 des sommets; s'il atteint le domaine (.r réel, v complexe), c'est unique- 



(') Séance du i- décembre 1917. 



