SÉANCE DU 7 JANVIER 1918. 25 



ment par des portions à deux dimensions de multiplicités x = constante 

 léellc. 



Si le polyèdre fondamenlal a le sommet réel a? = 30, j' = co, ce sommet 

 est transformé en lui-même par les transformations S"" S"", où 



S'= (.r, /; ./• -+- /i, y -+- /.), S''= (x, y; x -t- /(', / -(- /.■'), 



h ; h et k : k' étant l'ationnels, ou bien par les substitutions S'" S'" S'', S' 

 et S" ayant la même expression que plus haut et S étant la substitution 



S — (.r, v; /•./■-+ /, /■'./■ + /'), 



où r et /•' sont les racines d'une équation v- -+- X^ + i = o, A étant entier; 

 h : h! et k : k' ne sont plus rationnels, mais assujettis à d'autres conditions. 

 Eventuellement il faut ajouter une substitution gauche aux précédentes. 



Si le polyèdre fondamental a pour arête une portion de la multipli- 

 cité a? = 30, cette portion est le polygone fondamental d'un groupe fuchsien 

 isomorphe au sous-groupe des transformations qui font revenir l'arête sur 

 elle-même ; on peut encore écrire les substitutions fondamentales de ce 

 dernier sous-groupe. 



Ces renseignements permettent de discuter la nature des singularités des 

 fonctions hyperabéliennes du groupe, et de conclure que trois d'entre elles 

 sont liées par une relation algébrique, et par Suite qu'elles s'expriment 

 toutes en fonctions rationnelles de trois d'entre elles. 



Soient X, Y, Z ces trois dernières fonctions, et soient 



_ ■• / ^ â.T t)y \'- t <lr ôv .- _ _ _ 



considérons les z comme des fonctions de X, Y; ils satisfont à un système 

 de deux équations aux dérivées partielles 



r^i/i -^ hp ->r C'i + gz^ 

 t — <i'x + c' p-^- b'ti + g' z, 



déjà rencontré, à peu près de la même façon, par M. Picard et considéré 

 également, dans certains cas, par M. Appel!. On peut considérer ce 

 système comme faisant connaître les difïérenlielles totales des fonctions v, 

 />, y, z, car, si X, Y sont convenablement choisis, aa' ^ i. Les coefficients 

 de ces équations sont algébriques. Les courbes singulières présentent des 

 particularités analogues à celles que j'ai indiquées pour le cas h\ perfuchsion . 



G. K., 191-^, I" Semestre. (T. 160, N° 1.) 4 



