■ifi ACADÉMIE DES SCIENCES. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur rilcratioii des siibslitiuions rationnelles 



,* .'«..«..44 



et les fonctions de Poincarê. Note de .\[. S. Lattes. 



Soient s, =R(3) une substitulion rationnelle à points invariants distincts : 

 a un point invariant de multiplicateur S, avec |S|> i : il y a toujours au 

 mofns'^tin'^ pareil point ( ' ). Il existe alors une 'fonction 0(m) méromorphe 

 I ou ëtft-ièV'e si R(3) est un polynôme] vérifiant, quel que soit k, réquation 

 fonctionnelle 



efpyèi^'iil pour ?/ = o la valeur y.. L'existence de 0( ?/ ), que nous appellerons 

 foNi-f'iiik'We Poinearé relative au point invariant a, a été établie par Poin- 



l'oinc^T.irapose toutefois ii la fonclion ^(w ) cheicliée la condition 5'(o)p^o. Si5'(oi) 

 est nul et si la première dérivée non nulle pour u=^o est d'ordre />, on trouve encore 

 une foncfion ^(hY méromorphe vérifiant l'équation (i), mais le nombre S qui ligure 

 dans cette équation, et qu'on peut encore appeler le multiplicateur, est lié à R'(z) par 

 la'vel«**«iii!Si'-nr R'(5{); la fonction â(Mi) est alors ume fonction méromorphe ou en^lière 

 'Wf!%''» Vf>iSjexe.rnpi«, si la subslilHtioui donnée 651.3,=:; 9.z- — i,on peut. poser 3:= cosw, 

 3,1^ cjis.'. // ; Ici OLu) est une fonction entière de li- et Il'(a) = 4 = S-. 



La fonction de Poincarê 0(_m) n'est pas autre chose que la fonction 

 inverse de la fonction de Schrœder 9(m) dont l'existence dans le domaine 

 du point y. a été établie par M. Kœnigs et qui vérifie l'équation 



9|Ii(.-)lr-, So(;). 



MSffs'? tandis que la fonction de Poincarê protengée analytiquement à partir 

 de M = o donne naissance à une transcendante uniforme méromorphe ou 

 entière, son inverse, la fonction de Schrœder, prolongée à partir de = = a, 

 est par cela même une fonclion analytique multiforme. De là l'avantage qu'il 

 y a à substituer la fonction de Poincarê à la fonction de Schrœder, si l'on 

 vëèrt'"Wi'dier ritération à partir d'un point initial z- quelconque dans le 



plan?^'-'"*^"' • • 



; -, 'imîii." • 



• C)- Qt^i^-'AT'^IJ! ^"'' l*^" sultstitutioiis rationnelles (Coni/'tes rendus, t. IGci, iij'i;. 



p. %Q\); 



(-) FoincÀré, .Sm/' une classe nnueelli' de transcendantes uniformes {Journal de 

 Ûalliéniatiques pures et appliquées, 1890). 



