SÉANCE DU 7 JANVIER [918. .Z"] 



Pour chaque valeur de z, la relation ; = 0(m) l'ournitau moins uuç/.\.alj?^r 

 de u, sauf au plus pour deux valeurs fa7ce/)/to«we//ey de r, d'après le l|ié,o.r^'jjj;e 

 de M. Picard. On a alors, sous forme paramétrique, pour le poin|,; i liW^^.s 

 conséquents =„, les valeurs suivantes : .>. :^,v^,^„ 



(les mêmes formules, pour n entier et négatif, fournissent une suite d'afi- 

 técédents successifs z._„ du point :; qui, pour n infini, a une limite égale 

 à 0(o), c'est-à-dire à x. Ainsi, on peu i choisir, parmi les antécédents successifs 

 possibles d' un point quelconque ;, une suite d antécédents successifs ;_„ ten- 

 dant, pour n infini, vers I un quelconque a. des points invariants à n^ultiplico- 

 leur supérieur à i en module. 



Les points exceptionnels possibles a, ^ de la fonction 0( m) sont, ou bien 

 des points invariants de la substitution ( ' ), ou bien deux points form^HtMin 

 cycle de points périodiques d'ordre 2. --i^ï ^ .- .'' 



Les problèmes relatifs à ritrration de la substitution donnée so'tTi^w?frsi 

 transformés en des problèmes relatifs à la croissance de la /'onction<)( a) ^J^o'a'r 

 avoir d«s catégories de substitutions rationnelles dont l'itération spit,-ffi^ji<c 

 à étudier, il convient de choisir des substitutions admettant une fonction dfe 

 Poincaré prise parmi les fonctions méromorphes (ou entières) ♦es'' p^H^ft 

 usuelles. C'est ainsi que, si l'on suppose S entier, et 0(m) égal'itl un%"'dès 

 fonctions, tangw, coau, pu, ou à une transformée homographique de ices 

 fonctions, on obtient des substitutions rationnelles pour le^quç]l^e^.j,a 

 méthode de V itération paramétrique permet de résoudre complètçi^g;U.le 

 problème fondamental de l'itération, (^e problème, sous sa forme générale, 

 peut être énoncé ainsi : 



Déterminer l'ensemble E' dérivé de l' ensemble E des conséquents z'. d'un 

 point z arbitrairement donné. "^ 



L'ensemble L' contient les conséquents dese.s divers points; d'autre part, 

 on sait que 1']', ensemble fermé, est la somme d'un ensemble pariaiî I'.* et 

 d'un ensemble dénombrable E;. : l'ensemble E, contient, lui aussi, les consé- 

 quents de ses divers points; quant aux points de E.,, leurs conséqueuls peu- 

 vent appartenir à E, . Dans les divers exemples qu'on vient d'énuméi;ei\.9u 



•— ' . -■'— .«>,- 



(') Par exemple, pour la subsliuilioii ^i := — ~T^» '«* fonction de t'oincaré 



est c. = lang;/, avec le mulliplicaleur 3; celle fonction admet les valeurs exception- 

 nelles -H <• — /qui sont des points invariants de la substitution. 



