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sait déterminer complètement E,, E.,, voir quelles conditions doit remplir = 

 pour que l'un ou l'autre des ensembles E,. E^ soit nul, pour qu'un point 

 donné du plan fasse partie de E , ... : ces diverses conditions dépendent de 

 propriétés arithmétiques du nombre z. 



Soil par exemple la substitution 



qu'on obtient en posant 



: — pi(. z,=p{2ii) avec .i'j = 4- A'3=o. 



Si 201 désigne la période réelle, l'autre période est a/v. Si l'on pose 



ï t= JIM 1= j>(2 f.ii' -+- ■'. i'j)tr), 



(• et u- étant réels, pour déterminer E', il faut connaître les représentations de e et de (v 

 dans le système de numération à base 2. L'ensemble E', est formé en traçant le réseau 

 orlliogonal des courbes r = consl., nr=consl. {o^riles de Descartes) et en excluant 

 du plan les points intérieurs à une infinité dénombrable de quadrilatères, contigus ou 

 non, limités par des courbes de ce réseau, la frontière commune à deux quadrilatères 

 contigus exclus devant être elle-même exclue en général; c'est pour la détermination 

 des arcs d'ovales qui limitent les domaines exclus qu'il faut connaître les représen- 

 tations binaires de c et de «•. On peut ainsi résoudre complètement les di\ers pro- 

 l)lèmes d'itération relatifs à (2). 



La méthode de l'itération paramétrique, par des /onctions de Poincarê 

 généralisées, peut être appliquée, dans des cas très étendus, aux substi- 

 tutions rationnelles à deux variables. 



ANALYSE MATflÉMATIQliE. — -S"»/' quelques propriétés fies polynômes 

 de Tchebichejf. INote ( ' ) de M. Jac.quks Ciiokhate, présentée par 

 M. Appell. 



1. Désignons par 



0,,{X) (/. = O, 1,2. ...) 



une suite orthogonale et normale de polynômes de TchebichefT correspon- 

 dant à l'intervalle donné («, b) et à la fonction caractéristique p{3'), non 

 négative dans (a, b). Posons 



?H+i (■*■) = «H+i--''""^' + f„+\,r'-" + «„+i.-..r"- ' -^- . . . («„+, > o) 



(') Séance du 3i décembre 1917. 



