3o ACADÉMIE DES SCIENCES. 



3. Soit f{x ) une fonction donnée continue dans ( «, h). Désignons 

 par T„j{.r) le pohnouie du degré // s'écartant le inoins possible de /(a;) 

 -^lans («, b) et par E„(/) 'e niaximuni de \f{x) — T„y(.r) | dans (a, /> ). 

 "^''ous avons 



" h 



f{x) r=2 A,, (f,,{a:) + p„(.r), A/,= / jH-f) /{.■>■) -J/A-v) dx, 



/.=„ •^" 



( 4 ) I A ,, ~ a, I < )î„ (/) Q, (1= :^ I p ( a- ) fAr , /, . r. o, i , 2. . . . ) , 



(5) liin|A/, — j:/, |„^, = o. 



TiiiooRKJnî. — Les deux développements 



^1' 



dx 



T„./(.<-)=^^/. ?/..('ï")i ^/= / /'('>')'l^;./l-i')?/.(J?) 



deviennent identiques pour n := -jz quelle que soit lu Jonction p(x). 



4. Les formules déduites de rinégalilé (4) 

 ((3) I A„+,| < E„(/)Q, |A„^,»„^,(^-)| < nE„(f) \ 'j„^,{x) | 



déterminent la convergence du développement 



y(-i'):i:^y A/, 9/,(a;), \,,~z / /;(,r )y\j;) 0;,(u,') c/.f. 



Ainsi (6) montre que ce développement converge uniformément pour une 

 fonction /(.t), sous les conditions 



/'{.f)= f <,(:v)dx + C, 

 '■ —I 



Tel est précisément le cas où l'on a ( « — ' ) 



r(x)~-^L^^, p{.r)>o (_,;.r^,). 



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