SÉANCE DU 7 JANVIER I91S. 3l 



."). I^n vertu de l'inégalité (\), on déduit, en posant /"(.r) = .r"' ', 

 iT„^(a:)=V r f p(x)/^.P)o,,(.r)d.v---'j,E„i/)Q\o,(.v), _,<0,<^i. 



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Q7 " = "/H-l. -^^ 



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4+1.2» 4^i.i) 4+1.:.) C-i.; pestant Unis quand n croit indéfiniment. 



AXALÏSE MATHÉMATIQUE. — Sur une pj-oprii'lé générole des fonctions 

 analytiques. Note de M. Arxaid Hex-ioy, présentée jwr \l.. Paul 

 Painlevé. 



Soit ¥{x) une fonction analytique de la forme 



(..) (./■-rt,)^.(./-«o)--'-... (v~«„)='"Gix), 



Ics^/, et a, étant indépendants de r. (_>n a le théorème suivant : 



Si les points Oj sont intérieurs à un contour simple C, dans et sur lequel G est 

 régulier et non nul, et si i.\\r,c.r.Mr.NT i>i. F(.i') vauie dans un sens constam 

 quand X décrit C, 



1° ¥' possède à Vintérieur de C ( /* — i ) zéros l>i, distincts des aj ; 

 u^ Toute courbe d'équation argF„;= conat.. ayant un arc intérieur à C, 

 passe soit en un point «,, soit en un point hj,. 



Supposons que F' ne s'annule pas sur C, et que C 'possède en chaque 

 point une tangente variant continuellement et faisant avec l'axe réel 

 l'angle a. Soit T'(x) = logG(.r). T est holomorphe dans C et sur C. On a 



I- ■'■ — 'ij {■>■ — if,]...(.f — f-/,,) 



\' étant holomorphe dans et sur C. Les b/, sont les zéros de L intérieurs à C. 

 Si s est l'arc x^.r de C, x„ étant un point de C indépendant de x, on a 



.■•V ''' f/ ■ 1- 'l , , i-, ■ d 

 Il ^= c'^ — =L — (os;!- 1= -7- lo» I' -4- j-r-aru I' . 

 I- (Is ^ ris ■ (TV 



