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Dans le mouvement de x sur C, u varie conlinùment, en restant d'un 

 même côté de l'axe réel. Donc la variation d'arg// est nulle, (^elle de a 

 est 171. Donc, celle de argU est -lin — i)r.. Les h/, sont donc bien au 

 nombre de (ra — i), chacun étant compté avec l'ordre de multiplicité où il 

 annule F'. 



G étant supposé ne contenir aucun des points L, singularités ou zéros 

 de F ou de F', la condition que arg F varie dans un sens constant sur C 

 équivaut à celle-ci, que C coupe une fois et une seule chacun des arcs 

 d'équation argF(a) = const. passant par ses divers points et limités des 

 deux parts à une certaine distance positive assez petite de C. Si donc le 

 contour C n'adrnettait pas une tangente continue, on pourrait, sans rencon- 

 trer de points C, le déformer en un contour à tangente continue, C rem- 

 plissant les conditions du théorème et renfermant à son intérieur les mêmes 

 points 'i que C. Le théorème, vrai pour C. l'est aussi pour C. 



Dans tous les cas envisagés ci-après, il est pareillement possible de 

 supposer C doué d'une tangente variant continûment, sauf en général aux 

 zéros de F'. 



h?L première partie du théorème subsiste si argF est simplement assujetti à 

 ne pas posséder sur C les deux sens de varialion. 



En effet, (^ ne contenant pas de zéro de F', u ne passe pas par l'origine et 

 son argument est toujours déterminé, u n'ayant pas de positions séparées 

 par l'axe réel, la variation de argw est nulle. 



La seconde partie du théorème se démontre dès lors immédiatement. 

 Une courbe y d'équation argF(j;) = const. ayant à l'intérieur de C un 

 point ? distinct des "( se prolonge dans les deux sens à partir de H, sans 

 arrêt ni ambiguïté possible tant qu'elle ne rencontre pas un point I. Si donc 

 elle ne s'arrête pas en un pointa,, ni ne se ramifie en un point />»/,, elle aboutit 

 à (v en deux points y., !il. L'arc de y compris entre v. et ^, ajouté à l'un ou 

 à l'autre des deux arcs de C séparés par a et ^, forme deux contours 

 simples S,, So. ^'i sur S,, ni sur S^, argF ne possède les deux sens de 

 variation. Donc si p et n — p sont respectivement les nombres de points Uj 

 intérieurs à S, et à So, ces deux contours renferment respectivement à leur 

 intérieur {p— i) et {n~p~- i) points &/,. Donc C contiendrait (/?— 2) points 

 A/, et non pas (n — i ). 



Observons enfin que, si y aboutit d'un cùlé à un point a„, et de l'autre à 

 un point a^,, en vertu du théorème de Rolle, applicable aux courbes où 

 l'argument de y est constant; ou bien les parties réelles de a„, et a^, sont de 

 signes t;ontraires, ou bien y contient au moins un point h^. 



