62 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Le problème précédent est le problème fondamental de la théorie de 

 l'itération. Il est susceptible d'une solution théorique complète basée sur 

 les principes suivants : 



I. V ensemble E. — J'appelle ainsi l'ensemble dénombrable formé par 

 les racines des équations s = (p„(r.) pour lesquelles |(p',(5)|^i pour 



n = I, 2, ..., X. 



a. L'équation 3^(p(s) ayant toujours une racine '( pour laquelle 

 3)'('C)|>i ('), il y a toujours des points dans E. De plus, <Pn( = ) 

 n'étant ^z pour aucune valeur de n, E ne peut être que dénombrable. 

 On peut alors supposer que l'=o n'est pas de I*]. 



h. Premier théorème fondamental. — Entourons le point "(, précédent, 

 d'un petit domaine D arbitrairement petit; les itérés D, de D sont, à 

 partir d'un certain rang, des surfaces de Riemann à plusieurs feuillets, et, 

 comme aucune suite infinie extraite de la suite des ç,- n'est normale dans D, 

 au sens de M. Monlel, il ne peut y avoir que deux points au plus qui soient 

 extérieurs à tous les D,, ou même qui soient extérieurs à tous les D„ 

 d' une suite infinie quelconque extraite des D,. Il y en a effectivement deux 

 qui sont o et ce si ç(^)^3**, un qui est c/o si '^ (c) = polynôme quel- 

 conque (ou s'y ramenant). 



Dans les autres cas, pas de point exceptionnel, et, à partir d'un certain 

 rang, tous les D, recouvrent tout le plan complet. Le théorème est vrai de 

 tout point de E. 



c. Tout point de E est donc point limite pour Vensemble des antécédents 

 d'' an point arbitraire du plan complet (sauf, naturellement, les points excep- 

 tionnels); il e?,i limite pour Tenseiyible de ses propres antécédents. On en déduit 

 aisément que tout point de E est limite de points de E distincts du point 

 considéré.^ \\ compte donc une infinité de points. On peut parler de son 

 dérivé E'. E' contient E. E' est parfait. Evidemment les points de 1' sont 

 partout denses sur E'. 



(') Ainsi cni'il lésulte de la relation 7 —r, — ; (-1 = étendue aux racines ;,, 



-^? (5,) -I 

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supposées distinctes, de l'équation j=ro)(s). On passe aisément de là au cas sin- 

 gulier où un ©'(:,) est = i. 



