SÉANCE DU I 'i JANVIER I918. 63 



II. L'ensemble K' . — a. Les points do 1*7 jouissent de la propriété carac- 

 téristique suivante : 



Deuxième théorème fondamental. — La condition nécessaire et suffisante 

 pour qu'un point P du plan complet jouisse de la propriété suivante : 

 quelque petit que soit le domaine ib entourant P, deux points (') au plus 

 du plan complet pourront rester extérieurs à tous ses itérés ffi, (ou à une 

 infinité quelconque de CD„ extraits de (0,), est que P soit un point de 17. 



b. Tout point de E' est limite pour les antécédents d'un point arbitraire 

 du plan (sauf lespoints exceptionnels). Tout antécédent et tout conséquent 

 d'un point de F/ est de 17. Les antécédents d'un point quelconque de E' 

 sont partout denses sur 17. l-'n un point de 17 aucune suite infinie©",, c&„., ... 

 ne peut être normale. 



c. E' a la même structure dans toutes ses parties, c'est-à-dire que, si, 

 dans une aire A arbitrairement petite du plan, les points de E' forment un 

 ensemble discontinu ou un continu linéaire, 17 est partout discontinu ou 

 partout continu linéaire (17 est alors bien enchaîné entre deux quelconques 

 de ses points). Car E' tout entier peut être engendré par l'itération jusqu'à 

 un certain ordre, fini, de la partie de E' contenue dans A. 



On a des exemples où E' est partout discontinu, et d'autres où c'est un 

 continu linéaire. Mais à cause des rapprochements que j'exposerai prochai- 

 nement entre la question présente et les groupes automorphes, il faut exa- 

 miner si E' ne peut être superficiel. On voit aisément que E' ne peut 

 contenir une aire quelconque à deux dimensions sans être identique au plan 

 complet. EfTectivement, on peut former des exemples où E' (sl identique au 

 plan complet. Mais on peut, dans bien des cas, reconnaître l'impossibilité 

 de cette éventualité, soit par les propriétés géométriques de E' dues aux 

 propriétés particulières de 9(") (fractions à cercle fondamental), soit par 

 l'existence de points z = Op (z), où | 9)X = ) | <! i- 



III. Les régions du plan que délimite E'. — Si E' n'est pas le plan complet, 

 dans tout domaine A ne contenant pas de point de E', la suite des ç., (-) est 



(') Ces deux points exceplioiinels sont les mêmes que ceux du premier tliéorème 

 fondamental et se présentent dans les deux cas cités. Aucun de ces points ne peut 

 appartenir à E'. 



(^) Si l'on a envoyé à l'inlini un point de E', les cp/ ont tous leurs pôles dans E'; elles 

 sont holomorphes dans A. 



