SÉANCE DU 21 JANVIER I918. Io3 



Sur la ré/orme qu'a subie la mathématique de Platon à Euclide, et grâce à 

 laquelle elle est devenue science raisonnée, par H. -G. Zeuthen. 



ANALYSE MATlIÉMA'l'lQUE. — Sur les singularités irvègidières 

 des équations différentielles linéaires. Note de M. René Gakmer. 



Les résultats que j'ai énoncés (') à propos des singularités irrégulières 

 des équations linéaires du second ordre comportent diverses conséquences 

 que je résumerai rapidement. 



l. Considérons l'équation linéaire 



(Eo) j"=L\r="'4-n'j,„_,x-^"'-'+ y «AxMy (.« = 0), 



|_ 2 m — 2 J 



qui présente a; ^ ao comme point irrégulier de rang m-\-i; dans le 

 domaine de ce point la méthode des approximations successives, introduite 

 par M. E. Picard pour m = o, permet de calculer deux systèmes d'inté- 

 grales normales. L'un d'eux comprend les intégrales y),(^' ~ '' •••>"' + !) 

 convergeant (-) dans les secteurs 



a,! (4/.— 5)7T4-r/£2(/H + i) arg.,r<(4A-)- 1)71 —-ri, 



où |.x| est pris suffisamment grand (en fonction de l'infiniment petit ■/]); 

 l'autre comprend les intégrales y'î convergeant dans les secteurs 



al (4*^ — 3)7t -l--o!;2(w H- 1) arg..i'5(4A + 3);: — -fl, 



et l'on a de plus _y^. = a;'"e''''-"|i -l-...], le crochet tendant asymptotique- 

 ment vers i dans t^ et'|,(.r) désignant un polynôme d'ordre m+ 1, nul 

 avec X. 



Cela étant, j'avais envisagé l'équation 



(l'^O y 



(i — c.r)- i — SX mU ^ ■ 



■lm — -l 



y 



présentant un point régulier x = £~' , un point irrégulier x = ro de rang m\ 



(') Comptes rendus, l. 1G4, 1917, p. 265. 



('-) Ceci suppose m >• o, reslriclioa qui sera conservée dans la suite. 



