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pour £ infiniment petit (Ee) « tend » vers (Eq) à l'intérieur d'un domaine D 

 qui grandit indéfiniment avec £~'. J'ai montré que les deux intégrales 

 canoniques du point j; = £"' et les im intégrales normales du point a; = co 

 tendent uniformément dans D vers les ijn h- 2 intégrales normales de (Eo). 

 Or la répétition du procédé précédent permet évidemment d'envisager (Eo) 

 comme issue d'une équation linéaire (t) possédant à distance finie, les 

 mêmes singularités que (E„) et, en outre m-{-i points réguliers e„ = oo, 

 e, , . . ., e„,+,, à exposants caractéristiques r, très grands avec les |e,| et dont 

 la fusion engendrera précisément le point irrégulier f/e (E„). 



2. Ceci rappelé, observons qu'en tout point x suffisamment éloigné, on 

 peut (pour 7/2 >-o) calculer les valeurs de trois intégrales normales. 

 Ainsi, pour 



AJ. (4/. — i)7r + -fl l2(/H 4- i)arg.cr^(4/,- + 1)7: — -/î, 



on connaît y]., jKÀ+u Ja) ^^ àan?, le secteur contigu 



Ax (4A- -H i)7i-H-/);;2(ffi+ i)arg.a:5(4/, -H 3) 7T — r;, 



on connaît yl, 7^.+,, yl+r On aura donc, en tout point de A{ et A^ respec- 

 tivement, des relations linéaires entre trois intégrales, relations qui seront 

 nécessairement ( ' ) de la forme 



, , I JÀ + i— 7i = aA yî , 



I jl+i —y'i = «K 1 ,y* + 1- 



Arrêtons-nous sur les relations (a), que j'appellerai relations caractéris- 

 tiques du point irrégulier. Tout d'abord, elles permettent d'opérer le prolon- 

 gement de chaque intégrale normale y'^ dans tous les secteurs (autres que 

 celui (j'i^ où elle a été définie); en particulier, elles permettent de calculer 

 les coefficients de la substitution & subie par un couple quelconque d'inté- 

 grales normales après un lacet J^ autour de a; = ce. 



Or ces relations caractéristiques, dont l'étude est intimement liée à celle 

 du point irrégulier, le passage à la limite rappelé plus haut nous en montre 

 l'origine et la signification : elles représentent la trace des substitutions de pas- 

 sage Z qui lient les im -+- 2 intégrales canoniques </e £ e/i e, , . . ., e,„^, . Mais 



(•) Car \yl\ par exemple est très petit dans A|, tandis que yl et yl + x ont de très 

 grands modules, avec des représentations asymptotiques identiques; ceci s'accorde 

 bien avec la remarque classique que les fonctions f{x)^ et y(d?) -(- e"'""*"' de la 

 variable positive x sont asyn\ptotiquemeul indiscernables. 



