SÉANCE DU 21 JANVIER I918. Io5 



il y a plus. Considérons le groupe ti (sous-j^roupe du groupe (j de t) 

 engendré par les substitutions S, correspondant aux c,; G contient 

 3(m + i) — 3 invariants dont m + i (les racines /•,) disparaissent dans le 

 passage à la limite; restent i{m + i) — 3 invariants J; je dis qa on peut les 

 choisir de façon (jii ils aient pour limites 'im — i des produits {^) y-l^-l, "J-l'y-l^ 

 (pie j'appellerai les paramétres du point sins^i/lier. 



En effet, soient (a,-, ^,, y/, 0,) les coefficients de la substitution X qui relie 

 les intégrales canoniques de e, à celles de e,] notre assertion sera légitimée 

 si l'on prend pour invariants J les 2m — i produits 



{«' ^= 3, . . . , //i -t- 1). 



Ainsi, lorsque tous les points de i" sont réguliers, et au nombre de N, 

 m -h I des 3N — 3 invariants de (J disparaissent; 3(N — m — 1) — 3 se 

 retrouvent dans les invariants de Poincaré pour E„; les im-\- 2 restants 

 doivent être cherchés parmi 2m ■+- 1 des paramètres du point irrégulier, ainsi 

 que dans une expression analogue reliant pour ainsi dire ce point aux 

 singularités finies. 



lînfin, la parenté qu'on vient d'établir entre C et E„ permet de rattacher 

 mutuellement deux catégories de problèmes regardés antérieurement comme 

 bien distincts : telles sont les déterminations des exposants caractéristiques 

 correspondant soit à un lacet J^ autour d'un point irrégulier, soit à un cir- 

 cuit autour d'un ensemble quelconque de points réguliers; tels sont encore 

 les problèmes d'existence d'intégrales du type a:^^'e+-''i :;(«•) [;(a;), holomorphe 

 pour a; = =oj, ou \\(a- — ei^'z^x) [-(a;), holomorphe dans un domaine com- 

 prenant les e,] 



Il me parait intéressant de dégager des résultats précédents une consé- 

 quence qui se vérifie encore ailleurs : aucun de ces résultats 11 aurait été 

 obtenu, si l'on avait voulu se limiter à l'emploi des séries asvmptotiques ; tandis 

 que, suivant une remarque de M. E. Picard, les approximations successives 

 permettent de reirouvcr aisément les développemenis en séries asympto- 

 tiques. 



(') Ces paramèties, dont le nonil)ie est ini + 2, sonl liés païune identité évidente; 

 de plus, si Ion considèie coMiine donnée la substitution ê (qui correspond à un cir- 

 cuit autour des points singuliers autres que les Ci), les im-^i paramètres restants 

 satisferont encore à deux relations. 



C. 15., itji^i, i" Semestre. (T. Iff;, N° 3.) l4 



