SÉANCE DU 28 JANVIER 1918. l49 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. - Sur cerlaines sommes abéliennes 

 d'intégrales doubles. Note de M. A. BrHi>. 



Je voudrais transporter dans le domaine analytique le plus général des 

 résultats que j'ai déjà développés, sur des problèmes particuliers, dans le 

 domaine géométrique. 



Soit l'intégrale double 



(I) fj'w{X,\\Z)d\dY 



attachée à la surface analytique F(X, Y, Z) = o, le domaine d'intégration 

 ayant une frontière fermée C tracée sur F. Par l'origine O et par l'élément 

 de surface F qui se projette en dXdY, on peut mener un cône inflniment 

 délié coupant une autre surface /(x", v, z) = o suivant un élément de pro- 

 jection dxdy. 



Alors (i) peut se remplacer par l'intégrale 



^^) jj p XF.-^YFv+ZF, Z '• ■ 



où il faut poser 



X:=I, Y=^, Z=:i, 



p p' 



SI 



\p p p I 



[.'intégrale (■j.) est invariable pour toutes les cloisons f tendues dans le 

 cànc OG. 



Bien que celle assertion soit d'origine intuitive et élémentaire, il semble 

 (ju'il y ait là une invariance de (2) encore très incomplètement utilisée. Je 

 vais la combiner avec le théorème d'Abel. 



Soit donc F une surface algébrique d'ordre m et ^l^fX, \ , Z) rationnel. 



Bien que le raisonnement précédent ait été fait, pour simplifier, dans 

 l'espace réel, il est encore vrai dans le champ bicomplexe et alors (1) est 

 l'intégrale double algébrique quelconque. 



Le cône OC détermine maintenant sur F des cloisons d'indices i, 

 2, . . ., m. Considérons la somme abélienne 



( 3 ) 2 Z/*^' ( ^'^ '' " ^^' ) "^^ ■ '^^ ' ■ 



