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En exprimant chacun de ses ni termes sous la forme (2), elle devient 



(4) ff^^""' y' ^)(-^7..+ v/, + -V=)^^» 



où R est rationnel (et même homogène d'ordre — 3). 



Or y, étant arbitraire, peut être un plan ou, plus généralement, une 

 monoide. Alors (/j) exprime (3) sous la forme 



(5) J'J'h,(.r,y)d.cdy. 



Des égalités telles que celle de (3) et (5) doivent exister aussi, de par la 

 nature générale du théorème d'Ahel, en remplaçant par d'autres surfaces 

 le cône intersecteur ici employé; mais ce qui me semble digne d'être noté, 

 ce sont les résultats simples et complètement explicites donnés immédia- 

 tement par la méthode du cône. 



La classification des sommes abéliennes (3) est évidemment la même que 

 celle des intégrales rationnelles (5). 



En posant 



(6) H(a-, ,)•, c ) = !?, + Gy+H„ R,(x, ,v)=Q.,-I\, 



les intégrales (4) et (5) peuvent prendre respectivement les formes 



f/.T dy dz 



J 



.r y z 

 F G II 



fv dx + <^dy 



qui doivent identiquement coïncider si, dans la première, on introduit le :■ 

 de la monoide ci-dessus employée. La première forme (7) est déjà inter- 

 venue dans des sommes abéliennes d'origine géométrique étudiées d'abord 

 par M. G. Humbert et ensuite par moi; dans les problèmes les plus inté- 

 ressants et les plus fréquemment rencontrés, F, G, H sont rationnels et ils 

 ne peuvent évidemment l'être que si P et Q le sont. Rechercher s'il en est 

 ainsi revient donc à reconnaître si l'intégrale (5) est f/e seconde espèce, 

 question complètement traitée par M. Emile Picard dans ses Fonctions 

 algébriques de deux variafdes (t. 2, chap. VTTI). 



Enfin remarquons que le problème général de la construction rationnelle 

 de (('),) où R(a:, j, =) est donné, indiqué par M. Picard (loc. cit., p. 479)» 

 reçoit ici une solution partielle pour R homogène d'ordre — 3 ; il se ramène 

 alors à la construction rationnelle de (6^). C'est un point qu'on pourrait 

 établir non seulement par les considérations transcendantes qui précèdent, 

 mais aussi par un raisonnement algébrique direct. 



