SÉANCE DU 2S JANVIER 1918, l5l 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Suj- 1' itération des substitutions rationnelles 

 à deux variables. iXote (') de M. S. Lattes. 



Soient [■'P|,y( ; R) {■'Vi y), Ro(.r, 7)] une substitution rationnelle X à deux 

 variables, et ^i,*. les multiplicateurs relatifs à un point invariant quel- 

 conque. Si l'on veut étendre à S la méthode d'itération paramétrique éta- 

 blie dans ma précédente Note pour le cas d'une variable (-), il faut d'abord 

 s'assurer s'il existe toujours un point invariant pour lequel | .v, | > i 

 et|j,|> I. 



En désignant par «i,, m., les degrés des dénominaleurs de R,, Ho et en supposant les 

 numérateurs de degrés /«,, /?^.> au plus, on a , 



= /H,+ ?«2+ 2, 



la sommation étant étendue aux divers points invariants : on peut en iléduire qu'on ne 

 peut pas avoir en iOMS les points invariants ] .?i | < i , |.?3|<i. Nous nous limiterons 

 aux substitutions pour lesquelles on est assuré de l'existence à'aii moins un point 

 invariant pour lequel Ui| > i, | io] > i , en laissant en suspens la question de savoir s'il 

 n'en serait pas ainsi en général pour toute substitution. 



Soit donc X(x„,Y(t) un tel point invariant. Nous distinguerons deux 

 cas : 



i" Cas (^a) : s,^s'^, s.^^s'l (a entier arbitraire). — Dans le domaine 

 de A, S peut être ramenée à la forme réduite (^) 



(i) «, = .?,«, (•, = .?.,(•. 



Envisageons le système fonctionnel 



^''' I •/.{"„ r,) = H,['H". '■).•/,(", '■)]• 



M. Picard a démontré (') l'existence de deux fonctions méromorphes .[/,•/ 



(') Séance du 21 janvier 1918. 



{') Comptes rendus, 1. 166, 1918, p. 26. 



(') Cf. S. Lattes, Sur les formes rcduites (1,'S transformations ponctuelles 

 {Comptes rendus, t. 152, igrijp. lôGo; t;l JJu//e/in de la Société niallicma tique, 

 t. 39, 191 1, p. 3o4 ). 



(') Picard, Sur certaines équations /onclionnellcs. etc. [Comptes rendus, l. 13!), 

 igo4, p. 5); Sur une classe de transcendantes {Annales de l'École Normale, ujiS, 



p. 3/,7). 



