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limites de la suite <s(-), 92(2), .. ., 9„(s), . . ., ou bien : (a) elles sont toutes 

 constantes dans R, ou bien (b) il y en a une (et par suite une infinité) qui 

 est une fonction analytique, non constante, dans R. 



a. La première hypothèse se présente lorsque R contient à son intérieur 

 une racine 'C de :; = s^,(;) où |'p^(3)|<i. On montre alors que cette 

 racine i^, et les /> — i racines qui forment avec elle un groupe circulaire 

 !^, = ©("(), ÎIj = ©('(,), ..., 'C^^, = cpCC^^o) sont chacune intérieure à une 

 régionR,R,,...', R^ , | R, = ©(R)', R, = ?(R,), . ..]. 



Dans chacune de ces p régions la suite des cp,(s) n'admet queyo fonctions 

 limites qui sont constantes et égales à C, 'C,, ..., 'C|,-^. L'ensemble des 

 p aires R, R,, ..., R^,_, constitue le domaine restreint de convergence pério- 

 dique vers le groupe (^, 'C,, ..., 'Çj,_^. Remarquons qu'ici les constantes 

 limites de la suite des 'J;(-) ne sont pas des points de E'. Mais elles peuvent 

 aussi bien l'être. Il suffit pour cela de considérer une racine ^ de :; = <Py,(-) 

 pour laquelle 9' (s) = e'**, étant commensurable à a-rt; on montre que c'est 

 un point de E' et aussi que dans toute une région R admettant '( pour point 

 frontière la suite 9y,( = ), Oy,{z), ..., (p„^,(:;), ...converge uniformément vers X,. 

 Ceci correspond à la proposition suivante, facile à déduire des théorèmes de 

 M. Montel : un point 'C, limite de conséquents ^„_, s,,^, ..., z^^, ... d'un point:; 

 n'appartenant pas à E', ne peut être point de E' que si, dans toute la région R 

 qui contient z, la suite (^„^(z), ..., çp„|,(z), ... converge uniformément vers 'C. 



b. Supposons, avec la deuxième hypothèse, que, dans R, la suite 9,,,(-^)> 

 ©,,^(2), ..., ©„^(s), ... tende uniformément vers une fonction analytique non 

 constante ( '). Il est clair que les itérées R„ , R„ , ..., R^^, ... de la région R 

 seront, à partir d'un certain rang, toutes confondues, puisque |-„,— ^„,^,| 

 tend vers zéro. Sans restreindre la généralité, on peut supposer qu'elles sont 

 confondues avec R, et que, dès lors, R est conservée par la substi- 

 tution =/, = ?/X'^) (*)' ^^^ indices «,, n.,, ..., n,,, ... étant tous des multiples 

 de l'indicep. On sait d'autre part que, quel que soit le domaine R, on peut 

 trouver une fonction Z =y'(z), analytique en tout point 2 intérieur à R, 

 prenant dans R toute valeur |Z|<]i et ne la prenant qu'en un seul point 

 intérieur à R : si R est simplement connexe, Z =_/"(;) est uniforme dans R; 

 si R est multiplement connexe (et sa connexion est alors d'ordre infini), 

 Z = /■(:;) est multiforme, à uneinfinité de branches, et deux branches quel- 



(') On voit alors que le point limite de la suile 3„,, ;„,, . . . .z„^, ... ne saurait être 

 point de E' lorsque : est intérieur à R (c'est-à-dire n'est pas de E'). 

 (-) ^ sera le plus bas indice pour lequel -y, = q),,(;) conserve R. 



