SÉANCE DU 28 JANVIER I918. l55 



conques de f{z) sont liées par une relation linéaire ( ' ). Dans tous les cas, 

 c = VÇL) est analytique uniforme dans |Z| <;i. A un point z de II corres- 

 pond un point Z dans |Z|-< i si R est simplement connexe, et une infinité 

 si R est multiplement connexe. Choisissons un des points Z correspondant 

 à 2 et un des Z/, correspondant à 3^= Op(^:-), dans une position initiale déter- 

 minée de z. Puis, Z décrivant tout le cercle |Z | <^ i à partir de sa position 

 initiale, par prolongement analytique, z décrira toutR, ainsi que z^,, à partir 

 de sa position initiale, et l'on suivra le Tjj, correspondant à Zp par prolonge- 

 ment analytique. Z^, sera bien déterminé en tout point |Z | < i ; c'est une 

 fonction analytique uniforme Z^,(Z) (-) dans tout le cercle | Z | <^ i . Inverse- 

 ment. Z ( Z^,) est une fonction de Z^, analytique en tout point intérieur à | Z | <^ i , 

 sauf un nombre fini de points critiques algébriques qui correspondent aux 

 points critiques de la fonction inverse de Zp:= Ç;,(s), dans la transformation 

 Xp = f{zp). On conclut aisément de là queZ^(Z)e*/ une fonction ration- 

 nelle qui conserve l'intérieur du cercle | Z | <^ i . Une telle fraction est bien 

 connue ('). 



L'étude des s,,^, 3„_, ..., z„^, ... de la suite considérée revient à celle 

 des Z„,, Z„^, — En particulier, si la suite z„_, ..., :-„X")^ ■•• ^^^^^ dans R, 

 vers une fonction analytique 4'(-)) ''^on constante, il faudra aussi que 

 Z„^, Z„, ..., Z„j(Z), ... tende dans |Z|<;i vers une fonction analy- 

 tique ''F(Z), non constante; ceci n'est possible, d'après les propriétés 

 de Z/,(Z), que si Z^,(Z) se réduit à Ze'", étant incommensurable à 2r.. On en 

 conclut, en revenant à R et à s^,= ©^,(:;),queR doit contenir à son intérieur 

 une racine '( de ; = '^,,(^) pour laquelle f'^S '■) = ^'"- C>n a donc là le seul cas 

 où une suite çp„ , cp„ , ... peut, dans R, tendre vers une fonction limite non con- 

 stante. 



Par Z ■=f(^z), les environs de ; = î^ sont représentés conformément sur 

 les environs de Z = o, et l'étude facile des fonctions limites de la suite 

 des Z„p= Ze"''^ (/j = i, 2, ..., ao) donne celle des fonctions limites possibles 

 pour la suite des o„^(:;), et par conséquent pour toute la suite des 9a(=)- 

 Mais je n'ai pas réussi jusqu'ici à décider si, réciproquement, les environs 

 d'un point 'C, racine de :; = 9/>(^) où ?„(3) = e'^, 6 étant incommensurable 



(') L'ensemble de ces relations forme un groupe aulomorphe conservant l'intérieur 

 du cercle | Z| < i. 



(^) Les autres branches de Zp ==/(5p) donnent naissance à des fonctions Zp(Z) qui 

 sont des fonctions homograpliiques de la fonction Zp(Z) que nous venons de consi- 

 dérer. 



{') Voir Fatou, Comptes rendus, t. 16J^, 1917, P- 8o6< 



