SÉANCE DU 28 JANVIER I918. iSj 



2. En général, c découpera, de la surface F, plusieurs portions telles 

 que Fa, et, en outre, une infinité de portions connexes qui se composent 

 d'un nombre fini de feuillets. A chacune de ces dernières correspond une 

 portion finie du plan des z, tandis que, à chaque portion Fa, correspond 

 un domaine A^(r) qui s'étend à l'infini. Le point co est point transcen- 

 dant pour chacune des portions cpA(»') de la fonction 9(n'), appartenant 

 respectivement aux différentes surfaces Fa. 



Il est évident que le caractère que présente le point transcendant w pour 

 une portion donnée Oa(w') dépend des propriétés de la fonction /(:;) dans 

 le domaine correspondant A,.,(/). On conçoit donc que, pour connaître 

 d'une manière complète comment se comportent les différentes branches de 

 la fonction inverse o(w) dans le voisinage du point co, il est indispensable 

 d'étudier la fonction /(") dans chaque domaine Ao,{r) séparément, et 

 qu'on ne peut espérer d'y arriver en n'invoquantque des propriétés de cette 

 fonction qui se rapportent indistinctement à tout le plan. 



3. Considérons une portion déterminée 0\{w) de la fonction inverse et 

 admettons qu'elle ne présente d'autres singularités transcendantes que le 

 point oj. 



Dans notre Thèse (') nous avons donné une classification des points 

 transcendants, en nous attachant aux trois cas essentiellement distincts qui 

 peuvent se présenter : 



1° Il peut d'abord arriver que, si l'on a choisi r suffisamment petit, toute 

 branche de <Pa("') tend vers l'infini lorsqu'on s'approche du point co sui- 

 vant un chemin quelconque ; dans ce cas nous avons appelé co un point trans- 

 cendant directement critique de cpA(('^). 



2° Si, au contraire, toute branche de ça(<ï') P'^^^i'^ une valeur finie au 

 point co lorscju'on y arrive suivant un rayon arbitraire, le point transcen- 

 dant co est dit indirectement critique, co est alors un point régulier ou algé- 

 brique pour toute branche deoA(^i')- 



3° Dans tout autre cas, co sera appelé point transcendant directement et 

 indirectement critique. 



Si le point co est directement critique pour o^(w), l'équation 



(0 . /(-) = to 



(') Voir notre Thèse Recherches sur les fonctions inverses des fonctions niéro- 

 morphes, Helsingfors, 1914- 



