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est dépourvue de racines dans le domaine correspondant Aa,(/), dès que r est 

 suffisamment petit, tandis que, dans les autres cas, elle y admettra toujours 

 une infinité de racines. 



4. Dans une Note récente ('), M. Rémoundos a tâché de classifier les 

 points transcendants suivant un autre principe, en comparant entre eux le 

 nombre N„(R) des racines de l'équation (i) intérieures au cercle jsl^R 

 et le nombre N(R) des racines que présente dans le même cercle l'équation 



(2) /(--) = '", 



H^ayant une valeur quelconque distincte des valeurs asymptotiques dey(:;). 



D'après ce qui a été dit au n° 2, il est cependant évident qu'on ne peut 

 pas arriver par cette voie à connaître le caractère du point transcendant co, 

 sauf dans le cas où No(R) reste fini quelque grand que soit R, et où l'on 

 sait a priori que le point eu est directement critique pour toute por- 

 tion <s^^{w) de la fonction inverse. 



En effet, dans le cas où No(R) tend vers l'infini avec R, il peut y avoir en 

 même temps des domaines àu,{r) où l'équation (i) n'admet aucune racine 

 et d'autres où elle en admet une infinité, de sorte que le point transcen- 

 dant CD est directement critique pour certaines portions 9a("')) tandis qu'il 

 présente un caractère différent pour d'autres portions. 



Ceci arrive par exemple pour la fonction très simple e^'sin:;, qui 

 admet w = o comme valeur asymptotique. En effet, si l'on a choisi r suffi- 

 samment petit, il existe pour cette fonction quatre domaines distincts Aii(r) 

 qui s'étendent respectivement à l'infini dans les angles 



argc_- 



< g (/J=0, 1, 2, 3). 



Dans le deuxième et le quatrième de ces domaines, la fonction considérée 

 est dépourvue de zéros, d'où il résulte que le point w = o est directement 

 critique pour les portions correspondantes ^\{w) de la fonction inverse. 

 Pour les portions (pA(«') qui correspondent auxdeuxautres domaines A„(/), 

 dans lesquels la fonction donnée présente une infinité de racines, w = o est 

 au contraire un point transcendant indirectement critique, ce qu'on 

 démontre facilement par des considérations que nous développerons dans 

 un autre travail. 



( ' ) Sur la classification des points transcendait ts des inverses des fonctions entières 

 ou méroniorp/ies (Comptes rendus, l. 165, 1917, p. 33i). 



