SÉANCE DU 28 JANVIER 1918. iSg 



.). Les résultats énoncés par M. Réraoundos au n" 5 de la Note citée 

 reposent essentiellement sur les considérations qu'il a développées dans un 

 Mémoire antérieur ('), et (pii l'ont amené à ce résultat que toute valeur w 

 telle que la différence N(R) — No(R) reste supérieure à un nombre positif /i^ 

 à partir d'une certaine valeur de K serait nécessairement une valeur asymp- 

 totique pour la fonction donnée. La démonstration de M. Rémoundos 

 s'appuie sur ce fait que, si l'on prolonge suivant un chemin allant du point <r 

 au point w les branches de la fonction inverse o{iv) correspondant aux 

 différentes racines de l'équation (2) comprises dans le cercle |r|jR, un 

 certain nombre (^ n^) de ces branches doivent nécessairement tendre vers 

 des points z extérieurs à ce cercle. Comme ceci a lieu quelque grand que 

 soit R, M. Rémoundos en conclut qu'il doit y avoir des branches de çp(«') 

 qui tendent vers l'infini lorsqu'on s'approche du point w. 



C'est sans doute ce même raisonnement, dont l'insuffisance est manifeste, 

 qui a amené M. Rémoundos au théorème TT de sa dernière Note, suivant 

 lequel, dans le cas où l'exposant de convergence des racines de l'équa- 

 tion (i) est inférieur à celui des racines d'une équation (2) quelconque, 

 co ne saurait être un point transcendant indirectement critique pour la 

 fonction inverse. Or ce théorème est inexact, comme le montre la fonction 

 très simple 



00 



(3) -=^=n('+;;> 



n = l 



les r„ étant des nombres positifs quelconques tels que le produit canonique II 

 soit d'ordre inférieur à un. En effet, par des considérations que nous déve- 

 lopperons dans le travail annoncé plus haut, on peut faire voir d'une 

 manière très nette que, lorsque w tend vers la valeur' asymptotique co = o, 

 pour laquelle sont vérifiées les conditions énoncées tout à l'heure, chaque 

 branche de la fonction inverse ©((»-') tend vers l'un des zéros — /•„ de la 

 fonction (3). Donc «• = o est un point transcendant indirectement critique 

 de 9('V'), et cela quelque petit que soit l'ordre du produit IL 



(') Sur Us points crilù/ues Iranscendanls {A/i/iales de la Faculté des Sciences de 

 Toulouse, 2'^ série, t. !), 1907). 



