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ni. Toute ligne X du plan de Bolyai qui a son cosinus hyperbolique 

 rationnel peut être construite au moyen de son angle de parallélisme 

 X == n(X), car 



/( 



c h \ m 



J'ai montré (') que le plan de Rieniann renferme un fait analogue, et 

 donné le moyen de tracer la ligne X aux extrémités de laquelle les perpen- 

 diculaires se coupent sous l'angle connu .r = $(X). 



IV. Tout carré dont l'angle co est la fraction — —d'anûie droit peut être 



transformé en un cercle équivalent. Si, de plus, m -f- u. est un des nombres de 

 Gauss pour l'inscription des polygones réguliers, tout cercle dont l'aire 



égale ± ir^ peut être transforme en carre. 



En effet, dans la géométrie de Riemann, les formules 



%\x\{ - — x\ ziz —^ , x = $(r), sin ( - — r I = taiif;! '-]■, r=«I>(p), 



et dans la géométrie de Bolyai-Lobatchefsky, 



permettent de construire dans tous les cas r et p. 



ANALYSK MATHÉMATIQUE. — Sur les équations fonctionnelles et les propriétés 

 de certaines frontières. Note de M. P. Fatou. 



Une fonction /(:;) holomorphe dans un domaine D étant supposée 

 vérifier une équation fonctionnelle telle que K\z, f{z), jYR(z)\\ = o, 

 A et R fonctions rationnelles données, il arrive souvent que cette équation 

 permet de faire le prolongement analytique de /( = ) dans un domaine plus 

 étendu et même de trouver les propriétés de/(;) dans tout son domaine 

 d'existence. Il y a là l'origine d'une extension de la notion même de prolon- 

 gement analytique pour certaines classes de fonctions. Pour l'instant nous 

 allons seulement utiliser ce mode de prolongement pour démontrer une 

 propriétédes frontières des domainesinvariantsparlasubstilution(^|R(;))- 



(') Constructions sphériqiics {Mathesis. 1899), el Géométrie non euclidienne, p. 57. 



