SÉANCE DU 4 FÉVRIER 1918. 2o5 



Soient a un point double de la substitution tel que |R'(a)|<< i, d un 

 domaine invariant contenant a, supposé simplement connexe et limité par 

 un contour Q {'). Je dis que s ne peut être constitué par un arc régulier de 

 courbe analytique que si {z\Y{(^z)) est une substitution possédant un cercle 

 fondamental et £ sa circonférence. 



En effet, la représentation conforme de d sur le cercle C(|î|;^i) étant 



définie par 



z = h(t), k{o) = a, 



h{t) est bolomorphe pour |z|<R(R>i). La relation :;, =R(-) dans d 

 équivaut dans C à /, = o{t). On verra que 9 est bolomorphe pour |f|^ i et 

 transforme le cercle C en lui-même. Le principe de prolongement par 

 symétrie de Schwarz montre que 9 est rationnelle et définit une substitu- 

 tion à cercle fondamental C, avec les points doubles o et ce. 



Je vais démontrer que h{t) est elle-même rationnelle. En effet, h{t) 

 vérifie l'équation 



(,) //[9(0] = R[M0]. 



qui entraîne une ou plusieurs relations telles que 



(•2) R[A(0] = RiA[s(0]l, 



t{t), fonctions algébriques ou rationnelles (autres que t) telles que 

 rsj\z(t')\ = o{t). Il importe de remarquer que les valeurs multiples des 

 fonctions ©-,(0) -(0' considérées dans tout le plan, peuvent être per- 

 mutées entre elles par des lacets décrits à l'intérieur de C. 



Ceci posé, h{t) étant bolomorphe dans une couronne F autour de C, on 

 pourra rétrécir T de manière que les équations (i) et (2) y conservent un 

 sens et soient encore vérifiées (-). Transformons F en F, parf, = '^{t). La 

 relation A(<,) = R[/i(f)] permettra de définir h{t) dans F, >F. En vertu 

 des remarques précédentes la fonction ainsi définie l'est sans ambiguïté; 

 elle y est uniforme et coïncide avec la fonction initiale dans F. De plus, les 

 équations (2) sont encore vérifiées dans F, . 



(') Poui ([lie le domaine restreint rf soit simplement connexe il suffit : 1° ou bien 

 que ce domaine renferme un seul point critique de R_,(s); 2° ou bien qu'il existe un 

 autre point double de même espèce dont le domaine total est d'un seul tenant, 

 comme cela a lieu pour D„ quand R(3) est un polynôme. 



(■-) On peut par exemple, pour supprimer toute difficulté, remplacer V par une 

 région antécédente contenue dans F et ne renfermant aucun point critique de o,-,(i). 



