2o6 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



(^n continuera ainsi de proche en proche et l'on définira h{t) dans V.,, 

 Fj, ..., r„. D'après des principes exposés antérieurement on atteindra 

 ainsi tous les points du plan pour une valeur finie de «; on en conclut 

 que It{t) est uniforme et sans points singuliers essentiels, donc ration- 

 nelle. 



Si h(t) était de degré > i, il correspondrait à un point :;' intérieur à r/au 

 moins un point l' extérieur à C. Or 



■ 



R„(;') = /;[cp„(<')] et lltn9„(<') = co, 



donc 



a = limH„(5') = /i(oc). 



n:^ oc 



Mais, d'autre part, à un point z" de S correspondrait également un 

 point t" extérieur à C; on aurait 



K„{-J') = h[^„{t")] et liraR„(î") = /i(^) = «, 



ce qui est impossible. 



Finalement h(^t) est du premier degré, et le théorème annoncé s'en 

 déduit immédiatement. 



La démonstration doit être légèrement modifiée dans le cas où a n'a pas 

 d'autre antécédent que lui-même dans d, ce qui a pour conséquence que 

 .? = o et !i;(^) = f. Dans ce cas, on peut seulement affirmer que A(^) est 

 méromorphe, le point à l'infini n'étant pas atteint par le procédé ci-dessus. 

 On a d'ailleurs A(^*) == R [/i(ï)] et l'étude de la représentation du point 

 double a et des points de z dans tout le plan des t conduit à une impossi- 

 bilité quand on prend pour h(t) une transcendante méromorphe ('). La 

 conclusion subsiste donc. 



2 N / 7C 



C) On observera pour cela que la relation f'rrre t" t entraîne 



R„[M<')] = F!«L/'(0]; 



t étant donné, les points l' sont denses sur la circonférence |i'| = |^j. On en conclura 

 que le domaine Saurait pour images des couronnes concentriques dans le plan des t, 

 et que le point oi. aurait pour images des circonférences concentriques, ce qui est 

 impossible. 



