SÉANCE DU 4 FÉVRIER 1918. 207 



ANALYSIS SiTUS. — Sur les courbes de M. Jordan. Note de M. Arnaud De.vjoy, 



présentée par M. Jordan. 



C'est un théorème fondamental dû à M. Jordan, qu'une courbe continue, 

 simple et fermée, divise le plan en deux régions. Mais, si je ne me trompe, 

 nulle définition analytique de l'intérieur ni de l'extérieur d'une telle courbe 

 n'a été déduite de ses équations paramétriques x =f(t), y = g(t). Telle 

 est la question dont je me propose de donner ci-après une solution. 



Soit E un ensemble /e/-mé non aligné (non situé sur une droite unique). 

 Convenons de dire qu'un point M(^, /]) est intérieur à la borne convexe 



n n 



de E, si les coordonnées de M sont de la forme ^ =^Iv,.xv, yj — '^^tYii les 



1 1 



n points (.r,-, j,) non alignés (n^3), appartenant à E, et les coefficients K< 

 étant des nombres positifs dont la somme est i (on montre que, dans le cas 

 nous intéressant, n peut être réduit à 3). Nous appelons borne convexe 

 de E la frontière B de l'ensemble des points M, points périphériques de E les 

 points de E situés sur B (les autres points de B forment des segments recti- 

 lignes s dont les extrémités seules appartiennent à E), droite bornante de E 

 toute droite A contenant au moins un point de E, et ne partageant pas E 

 (c'est-à-dire telle que E ne possède pas de points des deux côtés de A). Par 

 tout point K de B passe au moins une droite bornante de E, Celle-ci est 

 unique, et c'est la droite indéfinie portant s, si K est étranger à E et inté- 

 rieur au segment 5 de B. 



Cela posé, soit B„ la borne convexe (ou borne d'ordre zéro) d'une courbe 

 de Jordan C. 



Les points de C situés sur Bo (au nombre de trois au moins) seront appelés 

 points périphériques d'ordre zéro de C. On montre que leur ordre géomé- 

 trique sur B, est identique ou inverse à celui des valeurs correspondantes 

 de t comprises dans une même période convenablement choisie. 



Nous appellerons arcs primaires de C les arcs gf dont tous les points, 

 sauf les extrémités, sont intérieurs à Bg. Pour chacun de ces arcs, nous 

 envisageons sa borne convexe, que nous appelons une borne primaire 

 de C. Une telle borne Bo(^,) aura en commun avec B^ le segment recti- 

 ligne joignant les extrémités de §•,. Les points périphériques d'un arc 

 primaire quelconque g^ seront appelés points périphériques primaires ou 

 d'ordre i de G. Ces points séparent sur g^ des arcs que nous qualifions de 



