SÉANCE DU 4 FÉVRIER 1918. 20g 



théorème que pour le cas du plan, en considérant comme points périphé- 

 riques d'un ensemble K ceux par où passe une droite A limitant un demi- 

 [)lan (à deux dimensions) dont aucun point intérieur n'appartient à E. Les 

 points de Tespace, par où ne passe pas de droite A formeraient l'intérieur 

 de la borne pseudo-convexe de K. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une définidon des fonctions holomorphes. 

 Note de M. I). PoiMpkiu, présentée par M. Appell. 



t. On sait qu'une fonction de variable complexe, holomor[)lie dans une 

 région R (simplement connexe), peut être définie de trois (') manières 

 différentes, mais parfaitement équivalentes : 



1° Par la condition de monogénéùé en chacun des points intérieurs à R : 



(1) lim -y-— =/ (;); 



2" Par la condition (imposée a priori) de satisfaire à Y équation inté- 

 grale 



r étant un contour simple fermé, quelconque, tracé autour du point z-, 

 d'ailleurs quelconque, intérieur à R; 

 3" Par la condition intégrale (Morera) 



(3) //( = 



)dz 



pour tout contour fermé (^ tracé dans R; la continuité àe f{z) est sous- 

 entendue. 



Le raisonnement qui conduit à cette troisième condition de définition se 

 trouve dès 1879 dans l'introduction (n" 14) de la théorie des fonctions abé- 

 liennes de Rriot, mais c'est seulement en i8<SG que le théorème a été expli- 

 citement formulé par Morera. La démonstration de Murera est indirecte. 



(') Je liiisse expressémenl de côté la définilion par un élément de fonction (série 

 enlière) parce que je ne m'occupe ici que des définitions descriptù'es et non construc- 

 lives. 



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