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On trouvera une démonstralion plus directe dans ma Thèse ('), réduisant 

 la condition (3) à la condition (2). 



2. A ces trois délînitions on [)eut en adjoindre une quatrième qui se 

 place entre la définition de Cauchy (monogénéité) et celle de Morera. 

 Cette quatrième définition repose sur la notion de dérivée arèolaiie que j'ai 

 introduite à Toccasion de recherches sur les fonctions d'une variable 

 complexe. 



Convenons (ï a^^^eXer fonction de variable compleae toute combinaison 



Il + M' ('= \/ — l), 



où a et (' sont deux fonctions réelles de deux variables réelles, cl posons 



z étant le symbole habituel de la variable complexe; la fonclion_/(;) étant 

 supposée définie dans une certaine région R (simplement connexe) du plan 

 des :;. Prenons un point :; intérieur à H, d'ailleurs quelconque, et autour de 

 ce point traçons un contour simple fermé C : calculons l'intégrale 



j^ff( = )dz 



et formons le rapport 



A=>. 

 et. 



où a désigne l'aire de la portion du plan délimitée par C. 



Si, lorsque C tend d'une façon quelconque vers le point z, le rapport A 

 tend vers une limite bien déterminée, nous appellerons ce nombre-limite la 

 dérivée arëolaire de _/(-) au point r : si celte limite existe en chacun des 

 points intérieurs à R, on aura une fonction de r qui est la dérivée aréolaire 

 àa f(^z) dans la région U. 



La notion de dérivée aréolaire. étant ainsi introduite, on peut définii' une 

 fonction hotomorphe dans les termes suivants : c'est une fond ii>n de i:ariable 

 complexe, continue, dont ta dérivée aréolaire est nulle en chaque point . 



.3. Pour montrer que celte nouvelle définili(Ui est équivalente aux autres 

 définitions il suffit, évideninient, de la réduiie à une quelconque des trois 

 premières définitions, par exemple à la définition de Morera. 



(') Sur Ict cnnlinuilè (tes foiicl ions de variables complexes {Annales de Tou- 

 louse, igo5). 



