SÉANCIi: DU /i FÉVRIER 1918. 211 



Voici (•oiiimciiL on poul faiio celle réducliori (d'aillciiis le procédé de 

 déinorislialioii [)eiil rendre des services dans d'aulres queslions analognes) : 



Soil C nn contour simple feinié, d'aillenrs quelconque, tracé dans U el 

 soit 



l'intégrale de /'(:) prise le long de C. Je désigne par a l'aire de la région (C) 

 et je pose 



c. 



Ensuite je partage la région (C) en un nombre n de régions et pour 

 chacune de ces régions je forme l'intégrale y';; prise le long de la frontière C^; 

 je désigne par a^t l'aire de la région (C^) et j'observe que 



n 



V 



« = 7 y.,. 



et 



y,.//.' 



~jii^ 



si toutes les intégrales ont été prises dans le même sens. 

 J'observe maintenant que 



>-_ ' V / — V ■''■' '^■'■■ 



I I 



et je pose 



«/. ^ //■• 



Alors j'ai 



s — Pi '1 -H ■ ■ . + F/, '^, + . . . + \}.,, Ç,„ 



les \i. étant des nombres positifs dont la somme est égale à un et les C/, des 

 nombres complexes : Il en résulte que "^ se trouve (comme centre de gravité 

 des points 'ii^) à l'intérieur de tout polygone convexe cpii contient tons 

 les SA-- Mais on peul prendre n assez grand et les régions (C/j) assez 

 petites C) pour que les "u^. soient, d'après l'hypothèse, aussi voisins qu'on 



(') C'esl-à-diie pouvanl êlre renfermées dans des cercles de rayon assez petit. Ici, 

 pour la rigueur de la dénioiistiatii)n. on peul utiliser un lemnie analogue à celui dont 

 s'est servi M. Goursat dans sa diMnonstralion ^lil-^il|ue tlu tliijorèrue fundaniental de 

 Cauchy. 



