SÉANCE DU 4 FÉVRIER 1918. 2l3 



1 1 . Sni't mainlcnant une quartique pour laquelle le faisceau des quaclriques 

 ne comprend plus que deux cônes réels. 



Les forimilcs (2), a|)pli(|iR'es à ces couiIjcs, comporlciil ôvidemmenl un 

 tétraèdre imaginaire el des coordonnées létiaédriques imaginaires. 



En prenant pour sommets du tétraèdre de référence : 1° les sommets des 

 deux cônes réels; 2" deux autres points réels convenablement choisis, 

 Painvin (') a montré que les équations de ces quarliques sont de la forme 



(3) y-+^{z-'—r-) + 'i\izt^o, jL- + h\z- — e-)^'i\.yzi = o. 



Si l'on pose 



puis (en sup[)osant, par exemple, B ^ — p' <^o, D = — q' <^o ) 



_ f'^a — (/- 



v'/'M-o" 



H en resuite 



V /J* -+- CI' si II o -H 7- r Jp'* -4- (r 



' , — = — ! CciSO, 



{'a) 



~ V B'(//' + '/■•) ^'"'•' V + 2 v//**-!- '/'(B''/' — 1>7'') -in 9— lV(/v' — 7I) — 2 V)'p"-<j- ; 



on obtient des formules analogues si B <^ o, D > o; B ^ o, D > o; B ]> o, 

 D <^o. Le problème revient, dans chaque cas, à expiimer sinc&, cosct et- 

 par les fonctions elliptiques. On y parvient en écrivant 



i-p-^ 2(3 

 SI II o =r ■ — ""■; ' — — 



et en exprimant ^ el la nouvelle expression, fonction de ^-, obtenue pour - 

 par les fonctions sn«, en?/, du?/, problème aisé à traiter. 



(5) 



On trouve ainsi 



.X' /sii«(liw/ y fLcnii t v ci\- 11 -\- p 



fjJ-l|-« -■ T -|- oj sii-(/ z c-hfjisii-« 



>. 



où : 1° it'< I : 2° -, -, ^, -, —, k- sont des fondions réelles et faciles à cal- 



V V V V V 



culer de B, D, B', D'. La formules ( j ) sont uuiques de leur espèce si A- <^ i . 

 (') l\'ou\-elles Annales de Matliénialiques, 186S. 



