SÉANCE DU II FÉVRIER 1918. 253 



T^e type (i, - i) se rapproche des noyaux symétriques gauches. Si le 

 noyau (i) qui figure dans son équation de définition est positif, les pro- 

 priétés de ces noyaux symétrisables sont analogues à celles des noyaux 

 symétriques yauches. 



Voici quelques propriétés générales des noyaux symétrisables : 



1° Le noyau itéré, de puissance X, d'un noyau symétrisable (s, i') est 

 aussi symétrisable et du type 



[ï, £'(£S')*-']. 



■2° Tout noyau N(a;, y), symétrisable à gauche par exemple, admet une 

 in/inilé de facteurs composants, du même côté. Il y a alors lieu de considérer 

 parmi eux celui de puissance composée minimum, ou l'un d'eux s'il y en a 

 plusieurs. 



Si K{x,y) est ce facteur composant, soit ^ + i la première puissance 

 itérée du noyau N(a', y), telle que l'équation 



/■ 



B(j,-, s)K{s,y)ds = N'a'+"(x,/) 



soit résoluble. 



Nous dirons, dans ce cas, que le noyau symétrisable N(a;, y) est de 



genre g. 



On peut facilement déterminer une limite supérieure de g dans la plupart 

 des cas. C'est ainsi que tout noyau symétrisable, produit composé de deux 

 noyaux symétriques, est de genre zéro; tout noyau polaire de la forme 

 A(a;)B(a7, j) B(j') est de genre au plus égal à un, etc. 



On a alors le théorème suivant : 



Tout noyau symétrisable, fermé et de genre fini, est symétrisable des deux 

 côtés. 



On démontre pour cela que B(.r, j) est symétrique, du type £'(££' )'^"^' et 

 qu'il rend '^{x, y) symétrique, par composition à droite. 



Le noyau ^{x,y), considéré comme symétrisable à droite, est du type 



ce qui donne une vérification d'invariance pour la notion des classes que nous 

 venons de proposer. 



